Задача
В олимпиадах
Московская олимпиада школьников — 2015
Раздел
Баллы
20
Темы
Свойства
Сложность
(3 оценок)
Автор
21.02.2015, 19:56 (Данил Фёдоровых)
30.07.2015, 12:39
30.07.2015, 12:39
Два ученика легкоатлетической школы олимпийского резерва, Аристарх и Платон, решили устроить между собой неофициальное соревнование — кто из них будет лучше бегать стометровку в течение летнего сезона. Их тренер Владимир Петрович сообщил, что в течение сезона ожидается 5 контрольных забегов, на каждом из которых будет фиксироваться время финиша Аристарха $(a_1, \ldots, a_5)$ и Платона $(p_1, \ldots, p_5)$, где $a_i> 0$, $p_i>0$ — время финиша Аристарха и Платона на i-м забеге соответственно, $i=1, \ldots, 5$. Спортсмены задумались, как им определить по этим результатам, кто из них лучше бегает. Предлагается 4 схемы.
- Аристарх предлагает посчитать среднее арифметическое результатов и сравнить их.
- Платон считает, что справедливо было бы сравнивать между собой только лучшее время Аристарха и Платона.
- Владимир Петрович предлагает попробовать систему, похожую на систему оценок в прыжках в воду: отбросить лучший и худший результат каждого, а оставшиеся результаты сравнить по среднему арифметическому.
- Жена Владимира Петровича Елена Никифоровна, узнав о споре, тоже предложила свою систему сравнения результатов. Она предлагает после каждого забега рассмотреть разность результатов атлетов на этом забеге (время Аристарха минус время Платона) и прибавить ее к разнице, накопленной за предыдущие забеги. Если после 5 забегов эта накопленная разность будет положительной, то выиграл Платон, если отрицательной — Аристарх, а если нулевой, то ничья.
Будем говорить, что две системы сравнения результатов эквивалентны, если для любого возможного набора результатов $(a_1, \ldots, a_5)$ и $(p_1, \ldots, p_5)$, обе системы отдают первенство одному и тому же участнику. Какие из четырех приведенных систем сравнения результатов эквивалентны, а какие — нет? Для каждой пары либо докажите эквивалентность, либо приведите контрпример.
Все задачи этой олимпиады
Заключительный этап: второй день 10-11 классы
Задача | Баллы |
---|---|
Всё по P рублей! | 20 |
Дилемма центробанка | 20 |
Магазины в Кукумбрии | 20 |
Перераспределение доходов спортивных клубов | 20 |
Фирма, самолет, менеджер | 20 |
Заключительный этап: второй день 8-9 классы
Задача | Баллы |
---|---|
Билеты на футбол | 20 |
Гаджет и Микросхемов | 20 |
ЛДН | 20 |
Магазины в Кукумбрии | 20 |
Рассрочка | 20 |
Заключительный этап: первый день 10-11 классы
Задача | Баллы |
---|---|
Вклад Марьи | 5 |
Два ковбоя | 5 |
Двойной пирог | 5 |
Девяносто девять цен | 5 |
Расселение | 20 |
Рейтинги | 20 |
Спринтеры | 20 |
Типичные пингвины | 20 |
Заключительный этап: первый день 8-9 классы
Задача | Баллы |
---|---|
Вклад Ивана | 5 |
Господин Гаджет | 5 |
Два ковбоя | 5 |
Дели и выбирай | 5 |
Импортозамещение | 21 |
Тугрики и еврики | 15 |
Филолог Сергей | 21 |
Франчайзинг | 23 |