математика

Ночь, шумная улица, тусклый свет фонарей, Иван Домашний возвращается с работы домой, и вдруг перед ним появляется профессор с глазами разного цвета, представляется Воландом и предлагает ему сделку: в течение 10 лет за ним будет бегать человекоподобный Кот со скоростью a километров в день, при этом не останавливаясь и не отвлекаясь ни на секунду. Если догонит Ивана, то заберет его душу. Причем, если он согласится, то в ту же секунду получит 1 000 000 долларов.

Банк предлагает клиенту выбрать один из четырёх вариантов повышенного кэшбэка на следующий месяц. По всем покупкам, не входящим в выбранные категории, начисляется кэшбэк 1%.

Доступны следующие варианты: 5% на покупки в супермаркетах и аптеках, 5% на покупки в супермаркетах и кафе, 7% на транспорт и кафе, 10% только на кафе.

В финале крупного государственного тендера участвуют три IT-корпорации: «Альфа», «Бета» и «Гамма». Победителем станет только одна из них.

На децентрализованном финансовом рынке (Prediction Market) торгуются контракты на победу каждой из компаний. Рынок позволяет инвесторам открывать как длинные, так и короткие позиции. Сформировались следующие рыночные котировки (множители выплат):

Докажите или опровергните утверждение: «Если в некоторой точке $Q_0 > 0$ функция средних переменных издержек убывает, то $MC(Q_0) < AVC(Q_0)$».

Рассмотрим монополию с линейной функцией спроса. Докажите, что оптимальный размер скидки не может быть больше $50\%$. Решите задачу, если фирма (а) максимизирует выручку, (б) максимизирует прибыль.

На рынке информации работает $n$ фирм, $i$-ая из которых обладает репутацией $\alpha_i > 0$. Если фирма обладает репутацией $\alpha_i$, то в этом сезоне информацию она может продавать по цене не более $\alpha_i$, а издержки на добычу $I$ единиц информации равны $I^2$. Фирма может соврать, не понеся издержек на добычу информации, при этом, чтобы не вызывать подозрений, она должна продать столько же, сколько бы она продала, если бы не лгала. Но в таком случае репутация фирмы уменьшается в $k > 1$ раз к следующему сезону.

Пусть выпуск фирмы зависит от ресурсов $x_1, x_2, \dots, x_n$ и задаётся функцией постоянной эластичности замещения: $$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^u \right)^{\frac{1}{u}}$$ Где $0 < u < 1$. Цена единицы $i$-го ресурса равна $p_i > 0$. Найдите функцию издержек фирмы $TC(Q)$.

Предприниматель опасается трёх возможных происшествий в следующем году: пожара, затопления и кражи. Страховая компания предлагает три вида страховых полисов: $A$, $B$ и $C$. Каждый полис покрывает ровно два из трёх перечисленных рисков, однако предприниматель не знает, какие именно. Известно лишь, что для каждого риска существует хотя бы один полис, который его покрывает. Предприниматель может приобрести любое неотрицательное (не обязательно целое) количество полисов каждого вида.

Экономическая теория говорит нам, что налогообложение экономической прибыли не меняет равновесие на совершенно конкурентном рынке. Однако, в новостях по статистическим данным мы видим, что увеличение ставки налога на бухгалтерскую прибыль все же меняет равновесие.
Подсказка: подсказка в формулировке задачи
а) Докажите, что налогообложение экономической прибыли не влияет на равновесие.
б) Докажите, что изменение ставки налога на бухгалтерскую прибыль может изменить равновесие.

Перед вами правильный шестигранный игральный кубик. Вы можете бросать его неограниченное число раз. Используя только результаты бросков, постройте случайный эксперимент, вероятность успеха которого равна

a) 0.1 (не используя алгоритм из пункта б)
b) Заданному действительному числу X, где 0≤X≤1