Динамика доходов

б) Чтобы уровень дохода не менялся из поколения в поколение, необходимо и достаточно чтобы доход детей равнялся доходу родителей. Тогда стационарные состояния дохода — это 0, 20 и 100 тугриков.

Для решения дальнейших пунктов удобно обратиться к Рисунку ниже. Красная линия — это линия $y=x$, синяя линия отражает зависимость доходов родителей от доходов детей.

в) Воспользуемся наблюдением из предыдущего пункта. В обозначениях, используемых в задаче, необходимо, чтобы $y=x$, то есть равенство дохода детей доходу родителей. Рассмотрев по участкам систему уравнений, состоящую из зависимости, обозначенной в условии задачи, и $y=x$, находим стационарные значения дохода — это 0, 30, 100 и 130 тугриков.

г) Дети будут зарабатывать $15^2/30=7.5$, внуки будут зарабатывать $7.5^2/30=1.875$, а правнуки — $1.875^2/30=15/128$. Из поколения в поколение доход сокращается и в долгосрочном периоде будет стремиться к нулю. Математически подкованные конкурсанты могли воспользоваться знанием пределов, но это не было обязательным.

д) Воспользуемся Рисунком и ответом на пункт (в). При стационарных значениях $a$ (0, 30, 100, 130) доход всех будущих поколений равен $a$. Заметим, что при $a \in (0; 30)$, доход детей будет меньше дохода родителей, потому что синяя линия ниже красной (более формально, можно сказать о выпуклой вниз функции). Доходы следующих трёх поколений равны $a^2/30$, $a^4/27000$ и $a^8/21 870 000 000$ соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к нулю. При $a \in (30; 100)$ доход детей равен $30$, а затем доход стабилизируется на этом уровне, поскольку это стационарное состояние дохода. При $a \in (100; 130)$ доходы следующих трёх поколений равны $100+(a-100)^2/30$, $100+(a-100)^4/27000$ и $100+(a-100)^8/21 870 000 000$ соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к 100. При $a>130$ синяя линия лежит выше красной — это значит, что доходы детей превышают доходы родителей. Доходы следующих трёх поколений равны $(a-100)^2/30$, $(a-100)^4/27000$ и $(a-100)^8/21 870 000 000$ соответственно. В долгосрочном периоде доход будет бесконечно и неограниченно расти.

е) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы $S \geq 30-m$. Заметим, что если доход детей будет не менее 30, то доход всех будущих поколений также не опустится ниже 30

ж) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы $S \geq 130-m$, потому что остальные уровни дохода в долгосрочном периоде приводят к доходу не более 100. Заметим, что теперь возможна ситуация, при которой индивида не будут бедными, а внуки — будут. В качестве примера рассмотрим $m=100$, $S=20$. Доход детей равен $113 \dfrac{1}{3}$, в то время как доход внуков равен $105 \dfrac{25}{27}$

з) Следуя логике модели, программы помощи бедным могут быть неэффективны в долгосрочном периоде, потому что размер предоставленной помощи недостаточен для того, чтобы человек выбрался из «ловушки бедности» — ситуации, при которой индивид не может преодолеть бедность, потому что текущая бедность приводит к будущей бедности.

О ловушке бедности можно узнать подробнее в статье из проекта РЭШ GURU.Словарь.