Несмотря на развитие социальных лифтов, таких как образование, межпоколенческая социальная мобильность остаётся весьма ограниченной во многих странах. Так, для американца, родившегося в семье из числа 20% наиболее бедных, шанс иметь доход на уровне 20% самых богатых составляет всего лишь около 7%. В то же время его сверстник, родившийся в семье из 20\% самых богатых, станет богаче, чем 80% его сверстников с вероятностью 35%. В этой задаче мы проанализируем то, как зависимость доходов ребёнка от доходов родителя влияет на программы борьбы с бедностью.

В стране N. доход родителей однозначно определяет доход детей. В таблице ниже для всех возможных значений дохода родителей (в тугриках) указано значение дохода их детей (в тугриках). Эта зависимость сохраняется из поколения в поколение.

а) Доход Анны, Бориса и Виктории равен 19, 20 и 21 тугрикам соответственно. Чему будут равны доходы их внуков? Чему будут равны доходы их потомков 100 поколений спустя?
б) Назовём стационарным состоянием такой уровень дохода, который может поддерживаться неизменным из поколения в поколение сколь угодно долго. Каковы стационарные состояния в стране N.?

Теперь рассмотрим страну M., в которой зависимость дохода детей $(y)$ от дохода родителей $(x)$, оба из которых указаны в зайчиках, описывается следующей функцией
\[
y = \begin{cases}
\dfrac{x^2}{30}, x \in [0; 30] \\
30, x \in (30; 100) \\
\dfrac{(x-100)^2}{30} + 100, x \geq 100
\end{cases}
\]

в) Каковы стационарные состояния дохода в стране M.?
г) Какой заработок будет у трёх ближайших поколений, если родители зарабатывают 15 зайчиков? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов?
д) Пусть доход родителей равен $a \geq 0$ зайчикам. Какой заработок будет у трёх ближайших поколений? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов? Ответ может зависеть от значения параметра $a$.

Назовём бедным человека, доход которого ниже прожиточного минимума. Изначально прожиточный минимум установлен на уровне 30 зайчиков.
е) Рассмотрим индивида с уровнем дохода $m$ зайчиков, меньшим, чем прожиточный минимум. Программа помощи бедным повышает доход индивида на $S$ зайчиков на всё время жизни индивида. При каких значениях $m$ и $S$ программы будет достаточно для того, чтобы все потомки индивида не были бедными? Может ли быть такое, что дети индивида не будут бедными, а внуки — будут?
ж) Как изменится ваш ответ на вопросы предыдущего пункта, если прожиточный минимум равен 110 зайчикам?
з) На основе ваших ответов на два предыдущих пункта объясните, почему программы помощи бедным в развивающихся странах иногда имеют только краткосрочный положительный эффект.