В чём польза брака?

У каждого человека есть $T=100$ часов, которые он может распределить между работой в офисе за зарплату и временем дома. Работа в офисе приносит зарплату $w=1$ за каждый час работы, и эти деньги можно потратить на потребление товаров и услуг $C$. Считайте, что уровень цен равен 1. Чем больше времени человек проводит дома, тем чище, уютнее и красивее становится дом. Обозначим «уютность» дома $D$. Если человек проводит дома $t_{h}$ часов, то уютность дома равна $D = 5 t_{h}$.

Интересный факт. Учёба на совместном бакалавриате ВШЭ и РЭШ позволит вам посмотреть на брак и любовь глазами антрополога (а ещё узнать, почему распространяются фейки и откуда берётся блат).

а) Пусть индивид хочет сделать максимальным своё удовлетворение от жизни $U(C, D) = C \cdot D$. Найдите оптимальное индивидуальное распределение времени для человека. Чему будет равна уютность в доме и величина потребления $C$?
б) Как изменятся ваши ответы, если зарплата индивида вырастет до $w=2$? Объясните интуитивно, почему при росте заработной платы распределение времени между работой и домом, а также величина потребления и уютность в доме меняются именно так.
в) Пусть мужчина и женщина с одинаковой зарплатой $w$ размышляют, вступить ли им в брак. Если они вступят в брак, то уютность дома будет общей для мужа и жены. Когда муж проводит дома время $t_{h}$, а жена -- время $t_{w}$, уютность дома равна $D = 10 \min ({t_{h}, t_w})$.Расходы на потребление товаров и услуг у молодожёнов остаются раздельными. При каких значениях $w>0$ молодожёны могут договориться о таком распределении времени, чтобы им было выгодно вступить в брак? Считайте, что если молодожёны договорились о чём-то, они будут следовать договорённости, ведь они любят друг друга :).
г) Как изменится ваш ответ, если зарплаты мужчины и женщины не равны? Покажите математически и объясните интуитивно, как будет зависеть ваш ответ от дохода потенциальных супругов.
д) Пусть теперь зарплата мужа равна $w_m$, зарплата жены равна $w_f$, а уют в доме в случае брака можно определить по формуле $D = a \min ({t_{h}, t_w})$, где $a>0$. Как зависит решение о вступлении в брак от параметра $a$? Объясните эту зависимость интуитивно.}

Примечание. Если $x < y$, то $\min (x, y)=x$. Если $x \geq y$, то $\min (x, y) = y$.

Решение и ответ

а) Решим задачу в несколько более общем виде, чем это представлено в задании. От участников это не требовалось. Обозначим время на работе и дома как $t_h$ и $t_w$ соответственно. Тогда ограничение, с которым сталкивается одинокий человек, можно записать как $t_w + t_h = T$. Уютность в доме определяется как $D = b t_{h}$, где $b>0$. Величина потребления $C$ зависит от зарплаты и часов работы: $C=w \cdot t_w = w \cdot (T- t_h)$. Значит, мы можем записать удовлетворение от жизни $U = C \cdot D = w \cdot (T- t_h) \cdot b t_{h}$. Заметим, что удовлетворение от жизни представляет собой параболу с ветвями вниз относительно $t_h$, поэтому чтобы максимизировать удовлетворение от жизни нужно найти вершину параболы. Значит, оптимальное время дома $t_h^*=T/2$. Тогда время на работе $t_w^*=T/2$. Подсчитаем уютность в доме $D=b t_{h}^* = b \cdot T /2$ и потребление $C=w \cdot t_w^* = w T /2$. Подставим параметры из условия, получим $t_h^*=t_w^*=50$, $D = 250$, $C=50$.

б) Воспользуемся расчётами из предыдущего пункта. Получим $t_h^*=t_w^*=50$, $D = 250$, $C=100$. Заметим, что изменилось только потребление. Повышение заработной платы позволило человеку больше потреблять, но распределение времени между временем дома и на работе не изменилось. Так получилось, потому что по мере повышения потребления то же количество досуга приносит больше удовольствия, и наоборот.

в) При любом $w>0$ супругам выгодно вступить в брак. До брака удовлетворение от жизни у каждого из них не превышало $U^* = b w T^2 /4$, где $b=5$. Если после брака супруги не изменят распределение времени между работой и домом, они получат $U^{брак} = 10 w T^2 /4 > U^*$, что делает вступление в брак выгодным.

г) Ответ не изменится. Важная особенность задачи — это то, что проведённое время дома приносит супругам больше удовлетворения после вступления в брак. До этого супруг с зарплатой $w$ получал удовольствие не более $U^* = b w T^2 /4$, где $b=5$, проводя дома $T/2$ часов. После вступления в брак, проводя столько же времени дома и договорившись с супругой он будет получать $U^{брак} = 10 w T^2 /4 > U^*$

д) Брак выгоден при $a>5$, а при $a=5$ супругам безразлично, вступать в брак или нет. При $a<5$ вступление в брак не будет выгодным для супругов. Заметим, что оптимальное распределение времени между работой и домом не изменится. Поэтому после вступления в брак удовлетворение от жизни $U^{брак} = a w T^2 /4$. Ясно, что $U^{брак} = a w T^2 /4 > U^*$ тогда и только тогда, когда $a > b$, где $b=5$. Результат довольно интуитивный — если дома после брака стало приятнее, то брак того стоит, а если наоборот, то брак — сомнительная затея.

Примечание:

Конкурсанты могут задуматься о том, что не учитывает предложенная простая модель. Например, модель не учитывает тот факт, что карьерные возможности и зарплата зависят от того, насколько много человек готов работать.

Каждый пункт оценивается максимально в 4 балла.

Все задачи этой олимпиады

Задача	Баллы
В чём польза брака?	20
Динамика доходов	28
Кем быть?
Кредиторы	10
Первым делом, первым делом самолёты	11
Созидательное разрушение	11
Только сегодня, только для вас	17
Фильм, фильм, фильм	13

В олимпиадах

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады