потребитель и спрос

Участник экспедиции питается тремя продуктами: крупой $X$, мясом $Y$ и овощами $Z$. Продукты продаются только в наборах трёх типов:

\[
\begin{array}{c|ccc|c}
\text{Тип набора} & X & Y & Z & \text{Цена} \\ \hline
A & 1 & 1 & 0 & 20 \\
B & 0 & 1 & 1 & 20 \\
C & 1 & 0 & 1 & 20
\end{array}
\]

Банк предлагает клиенту выбрать один из четырёх вариантов повышенного кэшбэка на следующий месяц. По всем покупкам, не входящим в выбранные категории, начисляется кэшбэк 1%.

Доступны следующие варианты: 5% на покупки в супермаркетах и аптеках, 5% на покупки в супермаркетах и кафе, 7% на транспорт и кафе, 10% только на кафе.

Организатор небольшого концерта выбирает, сколько билетов продать. Если продано 4 билета, выручка составляет 40 ден. ед. При таком объёме продаж предельная выручка равна 6 ден. ед. Известно, что с увеличением объёма продаж предельная выручка не возрастает. Если на концерт приходит $Q$ зрителей, общие издержки организатора составляют $TC(Q)=Q^2$. Какую максимальную возможную прибыль может получить организатор концерта?

Митрофан Синельщиков нашел на чердаке коллекцию роботов-трансформеров Triplechanger G1 образца 1985 года в количестве 33 штук (назовем их базовыми роботами G1). Изучив их устройство, Митрофан обнаружил, что каждый робот G1 может быть необратимо трансформирован в двух роботов G2.

Проведя анализ аукциона ebay, Митрофан выяснил следующее:

Рассмотрим монополию с линейной функцией спроса. Докажите, что оптимальный размер скидки не может быть больше $50\%$. Решите задачу, если фирма (а) максимизирует выручку, (б) максимизирует прибыль.

Фирма продаёт товар двум группам покупателей. Доля покупателей первой группы равна $x$, а второй группы - $(1-x)$. Функции спроса групп имеют вид $Q_1=x(20-P_1)$, $Q_2=(1-x)(10-P_2)$. Издержки фирмы равны нулю. До обращения к консультанту фирма не могла различать покупателей разных групп и устанавливала единую цену. Консультант разработал технологию, позволяющую определять группу каждого покупателя и назначать разные цены. Найдите максимальную величину прироста прибыли фирмы в результате работы консультанта.

Карлсон потребляет чай и варенье. Его кривые безразличия – окружности с центром в точке, соответствующей 10 литрам чая и 5 килограммам варенья. Чем меньше радиус такой окружности, тем большей полезностью характеризуются точки на данной кривой безразличия. Килограмм варенья стоит 1 руб.; на оба товара Карлсон не может потратить больше своего дохода в 10 руб. Найдите функцию спроса Карлсона на чай.

Найдите спрос на товар $x$ в зависимости от цен $p_x$, $p_y$ и дохода $I$, если функция полезности задаётся формулой:
а) $U(x, y) = x + y$
б) $U(x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}$
в) $U(x, y) = x^{\alpha} y^{\beta}$, где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые положительные числа.

В каждом из пунктов приводится пара товаров и описываются предпочтения потребителя в отношении наборов вида (x,y), где x — количество первого блага, y — количество второго блага. Для каждого из пунктов изобразите карту кривых безразличия и приведите пример функции полезности U(x,y), представляющей данные предпочтения:
а) Сок и компот: чем больше сока я выпью, тем лучше, а количество выпитого компота не имеет значения.
б) Литровые и двухлитровые бутылки с водой; важно лишь общее количество воды.

Сок стоит 2 рубля за литр, компот стоит 4 рубля за литр, у потребителя есть 12 рублей; других товаров не продаётся.
1. Опишите множество доступных потребителю альтернатив, то есть пар (x,y), где x — количество потреблённого сока (в литрах), y — количество потреблённого компота (в литрах); изобразите это множество на графике в координатах x,y.
2. Пусть U(x,y)=x⋅y. Сколько сока и компота купит потребитель?
3. Запишите и покажите на рисунке, какой вид примет множество доступных альтернатив в каждом из следующих случаев: