микроэкономика

В некоторой стране производится только два товара - $X$ и $Y$. Единственным ресурсом является труд, общее количество которого фиксировано. В каждой из двух отраслей предельный продукт труда тем выше, чем больше труда уже занято в этой отрасли. Докажите, что альтернативные издержки производства товара $X$ убывают по мере увеличения его выпуска.

Монополист продаёт товар на рынке с обратной функцией спроса $P(Q)$. Известно, что $P(Q)$ строго убывает и является вогнутой функцией (то есть $P''(Q)\leq 0$), а предельные издержки фирмы монотонно возрастают. Государство вводит потоварный налог в размере $t>0$ на каждую проданную единицу товара. Считайте, что как до, так и после введения налога монополист производит положительный объём продукции.

Докажите, что после введения налога цена товара для потребителя возрастёт, но величина этого роста окажется меньше размера потоварного налога.

На некотором рынке функция предложения строго возрастает, а функция спроса строго убывает. Первоначально на рынке устанавливаются равновесные цена $P^*$ и объём продаж $Q^*$. Государство хочет сократить объём потребления товара на $20\%$ и рассматривает два способа добиться этой цели:

1. ввести потоварный налог в размере $t$ ден. ед. с каждой проданной единицы товара;

2. ввести процентный налог по ставке $\tau$ от цены, получаемой производителем.

Считайте, что все рассматриваемые цены и объёмы положительны.

Фирма использует $100$ факторов и производит товар в соответствии с технологией
\[
Q=\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{2x_2}+\sqrt{3x_3}+\ldots+\sqrt{100x_{100}}\right)^2,
\]
где $x_i\geqslant 0$ - количество $i$-го фактора. Цены факторов производства равны соответственно $1,2,3,\ldots,100$. Найдите средние издержки фирмы.

Рассмотрите работу некоторого монополиста. Государство может либо ввести налог на каждую проданную единицу товара, либо взимать с фирмы аккордный налог. Известно, что налоговые сборы государства в обоих случаях одинаковы и равны. Предполагается, что оптимальные выпуски существуют и фирма продолжает работать при обоих налогах. Сравните выпуск, цену, прибыль монополиста, излишек потребителей и общественное благосостояние при двух способах налогообложения. Учтите, что задачу предстоит решать в общих предпосылках.

В стране население разделено на пять равных по численности групп. До проведения реформы доходы представителей этих групп составляли соответственно 10, 20, 30, 40, 50 ден. ед. Государство провело перераспределение доходов. Доход каждого представителя двух наиболее обеспеченных групп уменьшился на одну и ту же величину $x$, а доход каждого представителя двух наименее обеспеченных групп увеличился на эту же величину $x$. Доход представителей средней группы не изменился.

В стране население разделено на 100 равных по численности групп. Доход каждого представителя первой группы равен 5 ден. ед., а доход каждого представителя каждой следующей группы на 5 ден. ед. больше, чем предыдущей. Вычислите коэффициент Джини.

Для справки:
\[
1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},
\qquad
1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]

В стране имеются два региона, равные по численности населения и совокупному доходу. В каждом регионе население разделено на две равные по численности однородные группы: все представители одной группы получают одинаковый доход. Доходы представителей двух групп первого региона равны $x_1$ и $x_2$, а доходы представителей двух групп второго региона равны $y_1$ и $y_2$. Коэффициенты Джини в первом и втором регионах равны соответственно $G_1$ и $G_2$, а коэффициент Джини во всей стране равен $G$.

Предприниматель опасается трёх возможных происшествий в следующем году: пожара, затопления и кражи. Страховая компания предлагает три вида страховых полисов: $A$, $B$ и $C$. Каждый полис покрывает ровно два из трёх перечисленных рисков, однако предприниматель не знает, какие именно. Известно лишь, что для каждого риска существует хотя бы один полис, который его покрывает. Предприниматель может приобрести любое неотрицательное (не обязательно целое) количество полисов каждого вида.

Самоконтроль — это частая проблема многих, потому что мозг вроде и понимает, что в долгосрочной перспективе нужно сдерживать некоторые свои действия ради своего же будущего, но в краткосрочной перспективе этого трудно придерживаться и не поддаваться соблазнам. В этой задаче мы как раз рассмотрим такой случай.