Бесконечный король

Страной "Infinity" управляет король, который правит вот уже целую вечность. Проживая каждую неделю он потребляет товар X. В первую неделю правления полезность от потребления x была равной $\frac{1}{2}$. В на следующей неделе $\frac{2}{4}$ Как итог его полезность можно задать таким образом:
$$U_{\text{короля}}=\sum \limits_1^\infty \frac{t}{2^t}$$ (t)=номер недели, которою проживает король.

Перекрестная эластичность

Дана функция спроса на товар А:
Qda = -2Pa - 0,3Pa +810
Определить коэффициент перекрестной эластичности спроса на товар А по цене товара В, если Ра = 300, Рв = 200

Дифференциация цены на дифференциальные уравнения

Фирма "Tex"=монополист на рынке решения дифференциальных уравнений. В стране есть два университета, которые пользуются ее услугами. Спрос первого университета можно описать как $$Q_{d1}=100-2P$$
$$Q_{d2}=200-10P$$

Первый год, фирма устанавливала для каждого университета разные цены. Известно, что издержки фирмы задаются уравнением: $$TC=4q_1^2+2q_1 \cdot q_2 +3q_2^2+204$$

Через год, правительство вводит для фирмы "Tex" следующее правило, оно устанавливает единую цену для каждого из университетов.

Экономика и шахматы.

Дмитрий играет в шахматы $(X)$ и занимается экономикой $(Y)$ Для занятий экономикой и игры в шахматы, ему нужен сон $(K)$ и умственная энергия $(L)$.
При этом функции производственных возможностей такие:
$$x=K_x^2+L_x^2$$
$$y=2K_y^2+2L_y^2$$

Всего у него есть 20 K и 50L

Сложение КПВ Advanced

Иван занимается двумя вещами. Ботает $(Y)$ и спит $(X)$. Всего в сутках у Ивана 24 часа. Если Иван спит меньше 9 часов, то за 1 час Сна он может получить 3 часа Бота. Но после того, как он поспал 9 часов, каждый следующий час сна забирает 3 часа Бота. (Если иван спал 0 часов, то он не ботает вообще)*

У Ивана есть подруга Настя, которая также Ботает и спит. Её КПВ задается уравнением $$x^2+y^2=25$$

Постройте их общее КПВ.

Торговля прошла успешно

В некой стране существуют две компании, которые торгуют лапшой. Спрос на лапшу задается функцией $Q_{d} = 36 - P$. Издержки на производство $Q$ тон лапши составляют $0,5Q^2$.
(а) Пусть две фирмы выбирают количество произведенной лапши одновременно. Найдите цену, сложившуюся на рынке.
Пусть у второй фирмы есть административный ресурс и государство сможет наложить на первую фирму налог $t$ на производство 1 тонны, потратив на это $13t^2/128$ денежных единиц.
(б) Какое $t$ выберет вторая компания?

Эх монополизм, монополизм...

Конец 19 века. В Соединенных Штатах Америки бурно развивается промышленность. Допустим есть две компании - Американская Угольная Компания (АУК) и Американская Сталелитейная Компания (АСК).
Свойства задачи: 

Прибыльное Средиземье

Когда Бильбо Бэггинс вернулся в Шир после Битвы Пяти Воинств, он осознал, что в скором времени все богатства, которые он добыл в походе (в сумме составлявшие 10000 денежных единиц) обесценятся из-за инфляции, которая каждый год составляет 10%. Предприимчивый хоббит, не долго думая, решил заставить свои деньги работать и прикинул для себя 2 возможных варианта действий:

Профсоюзы - зло?

1985 год. В штате Нью-Йорк расположены два авиапроизводителя "Bluestars Airlines" и "Starblue Airlines". Обе фирмы используют для произодства своих самолетов труд, для производства одного самолета необходимо затратить три единицы труда (труд и самолеты бесконечно делимы). Спрос на самолеты задается функцией $Q_{d} = 21 - P$. В штате есть профсоюз, объединяющий всех работников в авиационной сфере, который возглавляется Карлом Фоксом. Карл Фокс максимизируют функцию полезности профсоюза $U = wL$.

Размещаем завод

Пусть есть два города, растояние между которыми равно 10. Фирма-монополист может расположить завод на растоянии t км от города 1. Тогда спрос на продукцию в городе 1 будет равен $Q_{d} = (100 - t)/p^2$, а во втором городе $Q_{d} = (90 + t)/p^2$. (Цены монополист в двух городах ставит одинаковые). Монополист издержек не несет.

(а) Предположим, что количество проданных товаров в обоих городах должно быть равно. Найдите t и максимальную прибыль

(б) Докажите, что фирме безразлично какое $t$ выбрать