Эскалаторы

В Московском метро почти всегда можно заметить следующую ситуацию на эскалаторах: на правой стороне люди стоят, а на левой идут. Впрочем, иногда заняты и обе стороны стоячими. Эта задача хочет немного посмотреть на эти интересные равновесия и выяснить, какое из них лучше.

Допустим, за час одним эскалатором пользуются $N=3000$ человек. Если выбрать правую сторону эскалатора, то сначала придется выстоять очередь, время которой можно определить как $\frac{N_R}{1500}$ минут, где $N_R$ — количество людей, решивших тоже выбрать эту сторону. Само время спуска определим как $T=6$ минут.

Если идти по левой стороне, то в очереди стоять не нужно (потому что всем настолько лень это делать, что очеред), а сам спуск займет в $w$ раз меньше времени. Спуск по левой стороне связан с издержками $6w$, т к. бегать быстро - сложновато :(.

Чем больше человек ценит свое время, тем большие издержки он несет примем их как $a_i\cdot t$, где $a_i$ — параметр, отражающий то, насколько сильно человек ценит свое время, а $t$ — время в потраченное на очередь и спуск.

Есть три группы людей. $25\%$ от общего числа сильно торопятся, поэтому для них $a_1=5$. $50\%$ не слишком торопятся, поэтому их $a_2$ равно $3$. Оставшиеся $25\%$ поймали дзен, поэтому у них $a_3=1$.

1. Пусть $w=3$. Найдите равновесие и полезности людей в разных группах

2. Пусть $w=2$. Найдите равновесие и полезности людей в разных группах

3. Руководство метро решило отменить возможность идти по эскалатору — теперь и слева можно только стоять. Теперь полезность людей на левой стороне эскалатора аналогична правому, только очередь зависит от $N_L$ — количества людей, выбравших левый эскалатор. Как теперь распределяются люди по эскалаторам? Найдите среднюю полезность и сравните её с пунктом а.

4. Если вы верно решили пункты а) и c), то могли заметить, что суммарная полезность уменьшилась. В то же время пропускная способность эскалатора увеличилась (доказательство последнего факта оставим за рамками задачи, хотя автор задачи порадуется, если вы его напишете). Объясните парадоксальную ситуацию.