Нам нужна ёлка повыше.

В Городке "Tex" были построены пять районов, в новый год власти решили поставить ёлку в центре города. Поставить ёлку - дело платное, так цена елки задается уравнением: $$P=N^2+5$$, где N-высота елки. Каждый район имеет свою функцию полезности относительно этого события, районы, которые расположены подальше от елки имеют от нее меньшую полезность, центральные районы-богатые и поэтому их не особо сильно волнуют траты на эту покупку.
$$U_1=\frac{N}{5}-2.5G$$
$$U_2=\frac{N}{4}-2G$$
$$U_3=\frac{N}{3}-1.5G$$
$$U_4=\frac{N}{2}-G$$

Кони и слоны

Р.Фишер искусный мастер. Он производит шахматные фигурки коней и слонов, У него есть два участка земли, с первого участка он добывает 50 е.д Брусков дерева, или 30 е.д клейкой смолы, или 50 е.д металла. С другого участка земли 30, или 40, или 10 этих материалов.
Для производства одного слона требуется 1 е.д смолы и 1 е.д метала. А для производства коня ему нужно 2 е.д смолы и 1 е.д дерева.

А) Постройте его КПВ (в осях кони-слоны)

Больше функций, максимум полезности

функция бюджетного ограничения Джона имеет вид $$I=\max (f_1(x),f_2(x),f_3(x),...,f_n(x))$$
известно, что потребляет он Hex (x) и Go (y)
где $$f_i(x)=a_i-x$$
$$a \in [10;0]$$
известно, что $$a_1>a_2>a_3>...a_i$$
$$\Delta a_i =1 =const$$

Докажите или опровергните, что если мы изменим вид бюджетного ограничения, добавив функции $f_{n+1}(x), f_{n+2}(x)$ и функция полезности имет вид:
$$\frac{200x+6000y}{150}-2=(x-y)^2+U$$
то выбор комбинации x и y Джона не изменится.

Лемма о равноценном распределении

Для функции U = $X^a Y^b$ и $Px = Py = 1$ докажите, что потребление делится в пропорции $\frac{a}{a+b}$ от дохода для X и $\frac{b}{a+b}$ от дохода для Y. Иными словами, $\frac{X^*}{Y^*}$ = $\frac{a}{b}$.

Бесконечный король

Страной "Infinity" управляет король, который правит вот уже целую вечность. Проживая каждую неделю он потребляет товар X. В первую неделю правления полезность от потребления x была равной $\frac{1}{2}$. В на следующей неделе $\frac{2}{4}$ Как итог его полезность можно задать таким образом:
$$U_{\text{короля}}=\sum \limits_1^\infty \frac{t}{2^t}$$ (t)=номер недели, которою проживает король.

Экономика и шахматы.

Дмитрий играет в шахматы $(X)$ и занимается экономикой $(Y)$ Для занятий экономикой и игры в шахматы, ему нужен сон $(K)$ и умственная энергия $(L)$.
При этом функции производственных возможностей такие:
$$x=K_x^2+L_x^2$$
$$y=2K_y^2+2L_y^2$$

Всего у него есть 20 K и 50L

Сложение КПВ Advanced

Иван занимается двумя вещами. Ботает $(Y)$ и спит $(X)$. Всего в сутках у Ивана 24 часа. Если Иван спит меньше 9 часов, то за 1 час Сна он может получить 3 часа Бота. Но после того, как он поспал 9 часов, каждый следующий час сна забирает 3 часа Бота. (Если иван спал 0 часов, то он не ботает вообще)*

У Ивана есть подруга Настя, которая также Ботает и спит. Её КПВ задается уравнением $$x^2+y^2=25$$

Постройте их общее КПВ.

Трудное решение

Математик Алан.Т работает над секретным проектом. Для его работы требуются 1) Металлические роторы (Y), 2) Книги по криптографии (X).
Его начальство предложило такой набор этих деталей, кривая безразличия от которого Алан описывает как $$\frac{X+Y}{0,5} -2=(X-Y)^2$$

Известно, что максимальное количество X, которое он может получить =10, Y=100. Функция бюджетного ограничения имеет линейный вид.

Быстро стыбзил и ушёл...

В городе Г. проживает 120 непрерывных жителей, 20 из которых являются членами правительства, у которых нет денег и которые не участвуют в купле билетов и 100 обывателей, имеющих по 100 рублей каждый. В один прекрасный день в город приехал гражданин М. , и стал предлагать обычным жителям купить лотерейный билет МММ, обещая гарантированный выигрыш в 1 млн.рублей. Спрос на товар гражданина М. составил $Q_d=100-P_d$. В тот же момент в город съехалось очень много таких бизнесменов, и рынок изначально стал совершенно конкурентным.

Во всем виноваты левые

В какой-то Скандинавской стране появилась фирма, которой управляют радикальные социалисты. Больше всего на свете они не любят богатых людей, хотя сами при этом всегда рады получить наибольшую прибыль.
Эта фирма выходит на рынок, который очень не любит – на рынок перепродажи исторических книг по 20ому веку, спрос на котором описывается функцией $Q_{d}=a-P$.