Кто не рискует

б) Зная значение параметра $a>0$, Саша решает следующую задачу, выбирая $x_1 \in [0; 1]$:
\[
\max\limits_{x_1 \in [0; 1]} (1-x_1) \cdot 240 \cdot (1 + a \cdot x_1)
\]
Это парабола с ветвями вниз, её максимум достигается в вершине, поэтому оптимальное значение
\[
x_1^*=0.5 - 0.5/a
\]
Заметим, что с учётом ограничения на $x_1$ и свойств параболы, для $a\in(0; 1)$ выберем $x_1^*=0$. Поскольку $a>0$, $x_1 \in [0;1/2)$.

в) a — это «награда» за риск. Чем она больше, тем больший риск, начиная с некоторого уровня награды, возьмёт на себя менеджер.

г) Саша решает следующую задачу для $x_1, x_2, x_3\in [0;1]$.
\[
\max\limits_{x_1, x_2, x_3\in [0;1]} 240 \cdot (1+a \cdot x_1) (1-x_1)
+ 240 \cdot (1+x_1+2 \cdot x_2) (1 - x_2)
+ 320 \cdot (1+ x_1 + x_2 + 4 \cdot x_3) (1 - x_3)
\]
Можно решать эту задачу двумя методами. Первый — «школьный» — заметить, что это парабола с ветвями вниз относительно, например $x_3$. Подставить значение вершины, затем вновь заметить, что это парабола с ветвями вниз относительно $x_2$, повторить трюк с вершиной и в конце получить параболу с ветвями вниз относительно $x_1$. Второй способ, к которому могли прибегнуть школьники из математических классов, заключается в том, чтобы приравнять частные производные к нулю и проверить условие второго порядка через гессиан. Такое решение требует достаточного знания математического анализа. Заметим, что от школьников оно не требовалось, хотя и не запрещалось.

Обсудим частую ошибку. Для решения задачи недостаточно сказать, что это парабола с ветвями вниз относительно каждой переменной и решить систему условий первого порядка. Рассмотрим простой контрпример $f(x, y) = -x^2 - y^2 + 4xy$. Следуя такой логике, можно решить, что $(x, y) = (0, 0)$ — это точка глобального максимума функции, что не будет правдой.

При любом корректном решении получим ответ: $x_1=2/3,x_2=1/3,x_3=1/4$.

д) $x_1>x_2>x_3$. Выгодно рисковать в начале, потому что это влияет на будущие выигрыши. Отдача от принятого риска более велика для риска, взятого в первые периоды.

е) Засчитывался любой пример, согласно которому риски в начале выгодны (например, брачный рынок или инвестиции в молодости). Пример должен быть обоснован.