О стоимости жизни

Мы хотим выбрать $x_2^{2023}$ и $x_3^{2023}$ так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше.
Заметим, что функция возрастает по $x_2^{2023}$ , поэтому $x_2^{2023} = 0$ .
Относительно же $\sqrt{x_3^{2023}}$ мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е.
\[
\sqrt{x_3^{2023}} = 2 \implies x_3^{2023}=4
\]
Тогда $x_1^{2023}=4-2 \cdot 0-2=2$.

Теперь решим задачу для 2024 года. Из функции полезности получим $x_2^{2024}=2-0.5 x_1^{2024}-0.5\sqrt{x_3^{2024}}$. Это выражение подставим в функцию расходов:
\[
Costs^{2024}=10x_1^{2024} + 10 x_2^{2024} + 5x_3^{2024}/2 = 10x_1^{2024} + 10 (2-0.5 x_1^{2024}-0.5\sqrt{x_3^{2024}}) + 5x_3^{2024}/2 =
\]
\[
=20+5x_1^{2024}+2.5 x_3^{2024}-5\sqrt{x_3^{2024}}
\]

Мы хотим выбрать $x_1^{2024}$ и $x_3^{2024}$ так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше.
Заметим, что функция возрастает по $x_1^{2024}$ , поэтому $x_1^{2024} = 0$ .
Относительно же $\sqrt{x_3^{2024}}$ мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е.
\[
\sqrt{x_3^{2024}} = 1 \implies x_3^{2024}=1
\]
Тогда $x_2^{2024}=2-0.5 \cdot 0-0.5=3/2$.

б) Подставим решение из предыдущего пункта. Тогда $Costs^{2023}=30$, а $Costs^{2024}=17.5$. Индекс стоимость жизни $COLI = 17.5/30 \approx 0.58$

в) Рассчитаем оба индекса. Индекс Пааше
\[
I_P = \dfrac{10 \times 0 + 10 \times 3/2 + 2.5 \times 1}{10 \times 0 + 25 \times 3/2 + 2.5 \times 1} = 17.5/40 \approx 0.43
\]

Индекс Ласпейреса
\[
I_L = \dfrac{10 \times 2 + 10 \times 0 + 2.5 \times 1}{10 \times 2 + 25 \times 0 + 2.5 \times 1} = 1
\]

г) Заметим слудеющее соотношение: $I_L \geq COLI \geq I_P$.
Видно, что по индексу Ласпейреса уровень цен не изменился, в то время как по индекс Пааше и COLI упал (наблюдается дефляция).
Это объясняется тем, что при подсчете индекса Ласпейреса фиксируется корзина прошлого года, что не учитывает структурные сдвиги в потреблении индивида.
Индекс Пааше предлагает подстраивать эту корзину под новую из-за чего может происходить переоценка в нижнюю сторону, когда индекс COLI учитывает структурные изменения,
так как напрямую строится исходя из выбора индивида

д) Засчитывались различные корректные объяснения, в частности,

• изменение качества товара,
• малая роль товара в потребления,
• зависимость цены товары от технологического развития,
• роль товара как инвестиции.

В качестве возможного изменения можно учитывать цену за мощность процессоров, величину видеопамяти и т.п. — это позволяет учесть изменение стоимости и доступность технических характеристик во времени. Предложенная идея называется гедонистическое ценообразованием.