Типичные пингвины

Задача

Московская олимпиада школьников — 2015

Заключительный этап: первый день 10-11 классы

микроэкономика

производитель и рынки

олигополия

Средняя: 8.5 (6 оценок)

Данил Фёдоровых

21.02.2015, 20:10 (Данил Фёдоровых)
30.07.2015, 12:40

(3)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

На рынке плюшевых пингвинов «Тоша» действует фирма «ВОШ», а фирма «МОШ» готовится войти на рынок и стать ее конкурентом. Взаимодействие на рынке происходит так: сначала «ВОШ» выбирает объем выпуска $q_1>0$ тыс. шт. и объявляет его, а затем «МОШ», узнав объем выпуска конкурента, решает, входить на рынок или нет. Если она входит, то производит $q_2>0$ тыс. шт., а если не входит, то $q_2=0$. Чтобы попасть в перечень фирм, имеющих право производить плюшевых пингвинов, «МОШ» должна получить лицензию правительства («ВОШ» в лицензии не нуждается). Правительство выдает лицензии бесплатно, но только тем фирмам, у которых хорошо организовано производство, так что фирме «МОШ» придется потратить 100 тыс. рублей на начальные инвестиции, чтобы начать работать. «МОШ» решит войти на рынок, только если разница между доходами и расходами на производство пингвинов будет превосходить эти затраты. Цена одного плюшевого пингвина формируется исходя из объема предложения обеих фирм и равна $P=(110-q_1-q_2)$ руб. Производство типичного пингвина обходится любой из фирм в 10 руб., фирмы при принятии решений учитывают их последствия и стараются получить как можно большую прибыль (разницу между доходами и расходами). Сколько плюшевых пингвинов произведет фирма «ВОШ»?

Решение и ответ

Поскольку фирма «ВОШ» первой принимает решение, она может предсказать поведение фирмы «МОШ». Выбирая $q_2$, фирма «МОШ» максимизирует функцию
$$
\pi_2=\begin{cases}
(110-q_1-q_2)q_2-10q_2-100, & \text{если } q_2 > 0, \\
0, & \text{если } q_2=0.
\end{cases}
$$
Если фирма решит выбрать положительное $q_2$, то ее прибыль — парабола с ветвями вниз относительно $q_2$ и вершиной в точке $q_2^\star=50-q_1/2$. Максимальная ее прибыль в этом случае составит (в тысячах рублей)
$$
\pi_2^\star=(100-q_1-(50-q_1/2))(50-q_1/2)-100=(50-q_1/2)^2-100.
$$
Заметим, что эта прибыль положительна при $q_1< 80$, то есть при $q_1\ge 80$ фирма «МОШ» не войдет на рынок. Таким образом, оптимальный выбор второй фирмы задается такой зависимостью:
$$
q_2=\begin{cases}
50-q_1/2, & \text{если } q_1 <80, \\
0, & \text{если } q_1\ge 80.
\end{cases}
$$
Зная реакцию фирмы «МОШ», фирма «ВОШ» может принять одно из двух решений:

1) Производить меньше 80 единиц продукции и допустить вход на рынок фирмы «МОШ». Тогда ее прибыль составит
$$
\pi_1=(100-q_1-(50-q_1/2))q_1=(50-q_1/2)q_1.
$$
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $q_1^\star=50$. Прибыль фирмы равна $\pi_1^\star=1250$.

2) Произвести $q_2\ge 80$ и остаться единственной фирмой на рынке. В этом случае ее прибыль составит
$$
\pi_1=(100-q_1)q_1.
$$
Это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке $q_1=50$, однако эта точка фирме недоступна (при $q_1=50$ вторая фирма войдет на рынок), а самая лучшая из доступных точек $q_1^\star=80$. В этом случае прибыль равна $\pi_1^\star=1600$, что больше, чем прибыль в варианте 1).

Ответ:

80 тыс.

Да, в этой точке прибыль больше.
Жаль, что я ошибся на олимпиаде и рассматривал точку не 80, а 87.
Все дело в разрыве функции прибыли.
Когда на рынке две фирмы, прибыль задается функцией, максимум которой 50.
Но когда на рынок не входит вторая фирма, прибыль задается совершенно другой функцией.
Нужно просто сравнить глобальные максимумы обоих функций и выбрать наилучшую точку

Александр Тащян ↑

22.02.2015 14:11 ссылка

А я не углядел разрыв, и поставил 50. Обидно, не очень сложная задача. Понял уже в метро,, когда домой ехал.

Ринат Назмеев

22.02.2015 14:55 ссылка

Я думаю, за 50 будут давать около 7 баллов из 20

Леонид Сергеев ↑

24.02.2015 20:52 ссылка

в итоге, судя по критериям, получив ответ 50, можно рассчитывать на 12 баллов.

Александр Власов

21.12.2017 16:58 ссылка

Почему в решении, когда находится максимальная прибыль МОШ, не учитываются переменные издержки (10*q)?

Все задачи этой олимпиады

Заключительный этап: второй день 10-11 классы

Задача	Баллы
Всё по P рублей!	20
Дилемма центробанка	20
Магазины в Кукумбрии	20
Перераспределение доходов спортивных клубов	20
Фирма, самолет, менеджер	20

Заключительный этап: второй день 8-9 классы

Задача	Баллы
Билеты на футбол	20
Гаджет и Микросхемов	20
ЛДН	20
Магазины в Кукумбрии	20
Рассрочка	20

Заключительный этап: первый день 10-11 классы

Задача	Баллы
Вклад Марьи	5
Два ковбоя	5
Двойной пирог	5
Девяносто девять цен	5
Расселение	20
Рейтинги	20
Спринтеры	20
Типичные пингвины	20

Заключительный этап: первый день 8-9 классы

Задача	Баллы
Вклад Ивана	5
Господин Гаджет	5
Два ковбоя	5
Дели и выбирай	5
Импортозамещение	21
Тугрики и еврики	15
Филолог Сергей	21
Франчайзинг	23

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Автор

Комментарии

Все задачи этой олимпиады