Два ковбоя

Версия 8—9 классов

Могли.

Удовольствие первого ковбоя можно посчитать по формуле $U_1=2m_1+s_1+s_2$, а удовольствие второго ковбоя равно $U_2=2m_2+2(s_1+s_2)$. Тогда в изначальном варианте удовольствие каждого ковбоя равно 10. Рассмотрим, например, четверку чисел $(4, 3, 1, 2)$, при которой каждый ковбой тратит все свои 5 монет. В этом случае удовольствие первого ковбоя будет равно $U_1=2\times 4 + 1+ 2=11$, а удовольствие второго ковбоя будет равно $2\times 3+ 2\times (1+2)=12$, то есть каждому ковбою стало лучше, чем было. Можно построить и другие примеры подходящих распределений монет.

Почему так происходит? Заказывая две песни вместо двух кружек молока, второй ковбой не меняет свое удовольствие (кружка и песня стоят одинаково и приносят одинаковое удовольствие), но повышает удовольствие первого ковбоя на две единицы. Второй ковбой может ответить взаимностью: заказав одну песню вместо кружки молока, он уменьшит свое удовольствие на единицу (но всё равно будет в плюсе в результате действий второго ковбоя), но увеличит удовольствие второго. Максимизируя не только свое удовольствие, каждый ковбой улучшает общую ситуацию.

Версия 10—11 классов

1) Допустим, второй ковбой пьет 5 кружек молока во второй день. Значит, он не слушает ни одной песни. Значит, чтобы ему стало строго лучше, чем в первый день, первый ковбой должен заказать хотя бы одну песню. Однако в этом случае удовольствие первого будет строго ниже, чем в первый день, так как песни приносят ему меньше удовольствия, чем молоко. Значит, в этой ситуации не может быть так, что удовольствие каждого из них строго больше во второй день, чем в первый.

2) Допустим, второй ковбой пьет 4 кружки молока во второй день и слушает 1 песню. Если первый ковбой не закажет ни одной песни, удовольствие второго будет равно 10, как и в первый день. Значит, первый должен заказать хотя бы одну песню. Обозначим, количество заказываемых им песен за $s_1>0$. Чтобы удовольствие первого было строго больше, чем в первый день, должно выполняться неравенство $1+s_1+2(5-s_1)>10$, то есть $s_1<1$, что противоречит $s_1>0$. Значит, в этой ситуации не может быть так, что удовольствие каждого из них строго больше во второй день, чем в первый.

3) Приведем пример ситуации, когда второй ковбой пьет 3 кружки молока во второй день, и обоим лучше, чем в первый день. Пусть первый ковбой пьет 4 кружки и заказывает 1 песню, а второй пьет 3 кружки заказывает 2 песни. Тогда удовольствие первого будет равно $4\times 2+3\times 1 =11>10$, а второго — $3\times 2+3\times 2=12>10$.