Гаджет и Микросхемов

Задача

Московская олимпиада школьников — 2015

Заключительный этап: второй день 8-9 классы

микроэкономика

производитель и рынки

олигополия

Средняя: 6.8 (4 оценок)

Данил Фёдоровых

Никита Мельников

08.03.2015, 13:05 (Данил Фёдоровых)
30.07.2015, 12:41

(1)

Александр Шилин

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Господин Гаджет, которого вы встречали 21 февраля, всё еще является единственным продавцом гаджетов. Если он установит на свою продукцию цену $p\le 100$ рублей за штуку, то у него купят, как и раньше, $100-p$ единиц продукции (в ином случае не купят ничего).

За прошедшие две недели, однако, он узнал о существовании нового типа микросхем, производимых господином Микросхемовым, и решил использовать их в своем производстве. Между ними давняя история отношений: раньше Микросхемов работал на фирме господина Гаджета, но затем уволился, создал свою фирму и стал единственным производителем микросхем нового типа, которые подходят господину Гаджету (больше такие микросхемы никому не нужны). Обладая таким опытом, господин Микросхемов хорошо знает, что для производства каждого гаджета требуется всего две микросхемы нового типа, а также знает спрос на гаджеты. Сам господин Микросхемов тратит на производство единицы своей продукции 10 рублей.

Взаимодействие между ними устроено следующим образом. Сначала господин Микросхемов назначает цену на единицу своей продукции, после этого господин Гаджет решает, сколько микросхем закупить и по какой цене продавать гаджеты. Каждый из них при принятии решения учитывает его последствия и стремится заработать как можно большую прибыль (разницу между доходами и расходами). Чему будет равна максимальная прибыль каждого из предпринимателей?

Решение и ответ

Пусть Микросхемов установил цену за одну микросхему в размере $q$. Тогда господин Гаджет, назначив цену за один гаджет $p\leqslant 100$, сможет получить прибыль в размере
$$
\pi_G(p,q)=p(100-p)-2(100-p)q=-p^2+p(100+2q)-200q.
$$
Графиком этой функции является парабола с рожками, напраленными вниз. Вершина параболы находится в точке $50+q$. Если $q\leqslant 50$, то $q+50\leqslant 100$ и господин Гаджет получит прибыль в размере
$$
\pi_G(50+q,q)=(q-50)^2.
$$
Если $q>50$, то максимальная прибыль Гаджета будет достигаться при цене $p=100$, и она будет равна 0, он не продаст ни одного гаджета и не купит ни одной микросхемы. Если $q<50$, то прибыль Микросхемова имеет вид
$$
\pi_M(q+50)=2(100-50-q)(q-10)=2(q-10)(50-q).
$$
Графиком этой функции также является парабола с рожками вниз, ее вершина находится в точке $q=30$. Тогда прибыль Микросхемова будет равна 800 рублей, а прибыль Гаджета - 400 рублей. }

Задача	Баллы
Вклад Марьи	5
Два ковбоя	5
Двойной пирог	5
Девяносто девять цен	5
Расселение	20
Рейтинги	20
Спринтеры	20
Типичные пингвины	20

Задача	Баллы
Вклад Ивана	5
Господин Гаджет	5
Два ковбоя	5
Дели и выбирай	5
Импортозамещение	21
Тугрики и еврики	15
Филолог Сергей	21
Франчайзинг	23

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Автор

Комментарии

Все задачи этой олимпиады

Задача	Баллы
Всё по P рублей!	20
Дилемма центробанка	20
Магазины в Кукумбрии	20
Перераспределение доходов спортивных клубов	20
Фирма, самолет, менеджер	20

Задача	Баллы
Билеты на футбол	20
Гаджет и Микросхемов	20
ЛДН	20
Магазины в Кукумбрии	20
Рассрочка	20