Магазины в Кукумбрии

В целом, фирме выгодно открывать магазин, если доход от него будет выше издержек на его содержание. Если количество покупателей в данном магазине равно $N$, то магазин выгоден при $18N>100$. С учетом целочисленности покупателей, это эквивалентно $N\ge 6$, то есть магазин выгоден, если привлекает не меньше шести покупателей. При этом, если фирма решила открыть магазин, то ей нужно стремиться максимизировать количество покупателей, потому что издержки от него не зависят.
а) Где бы ни был расположен магазин, все покупатели придут в него. $101>6$, так что фирма откроет один магазин в любой точке. Открывать второй магазин невыгодно, поскольку он увеличивает издержки, не меняя доходов.
б) В этом случае страна как бы разбивается на два зеркально симметричных отрезка длиной 50 км. Рассмотрим левый отрезок $[0; 50]$. На нем, если считать концы, живет 51 покупатель. Тот из них, который живет в точке 50 (на правом конце отрезка, в середине страны), всегда будет ходить в магазин «Зернышко», поскольку он для него точно будет ближайшим. Покажем, как фирме «Пупырышек» заполучить 50 остальных покупателей. Покупатель, живущий в координате 49, придет к ней, если она будет стоять к нему ближе, чем магазин «Зернышко», то есть на интервале $(48;50)$. Поскольку ближе, чем на километр от конкурента, вставать нельзя, множество точек, позволяющих получить этого покупателя, составляет $(48; 49]$. Вставая в любую из этих точек, магазин получает максимальную прибыль от продаж жителям отрезка $[0;50]$.

Рассуждая аналогично, можно показать, что в правой части страны единственный нужно разместить на отрезке $[51;52)$. Таким образом, у фирмы будет 2 магазина, в каждый из которых придет 50 покупателей (они обозначены точками):

в) В этом случае страна разбивается на 5 отрезков, каждый длиной 20 км. Рассмотрим первый из них. Поставив один магазин в середине, фирма может привлечь 10 покупателей (8 будут ходить только в этот магазин и еще двое - чередовать), $11>6$, так что выгодно открыть по крайней мере один магазин. При этом если магазин открыт в координате $x$, то в «зону влияния» фирмы Пупырышек попадает отрезок $[x/2;(20+x)/2]$. Длина этого отрезка в любом случае равна 10, и выручка с него в любом случае будет равна 180 (при этом иногда это будут 10 целых покупателей, а иногда 9 целых и два «половинчатых»), а прибыль $180-100=80$.

Может ли фирма получить б\'{о}льшую прибыль с отрезка, если разместит там больше одного магазина? Как и в предыдущем пункте, в этом случае нужно размещать магазины близко к конкурентам, чтобы заполучить максимальное количество покупателей (точнее, первый магазин должен располагаться в точке из интервала $[1; 2)$, а второй - в точке из интервала $(18; 19]$). Так можно стимулировать прийти всех покупателей, кроме тех, которые живут непосредственно рядом с магазинами конкурентов. Таким образом, в два магазина придут 19 покупателей, общая прибыль на отрезке составит $19\times 18 - 2\times 100 = 142$. Это больше, чем 80, которые можно было получить с одного магазина. Любые дополнительные магазины не увеличат прибыль фирмы, так как больше 19 покупателей с каждого отрезка всё равно получить нельзя.

То же самое нужно проделать на остальных отрезках, общая ситуация будет выглядеть следующим образом:

г) Если фирма поместит на каком-то из 10 отрезков, на которые разбивается страна, один магазин, то он привлечет только 5 покупателей, но $5<6$, так что открывать один магазин невыгодно. Вместе с тем, больше 9 покупателей на каждом отрезке также нельзя привлечь (покупатели, живущие в координатах, кратных 10, привязаны к «Зернышкам»), так что открытие двух или бОльшего числа магазинов тоже не может быть выгодным. Получаем, что в этих условиях фирма «Пупырышек» не откроет ни одного магазина.