Правила приёма

Во многих странах абитуриенты распределяются по вузам и факультетам с помощью централизованных алгоритмов. Рассмотрим один из них.
Допустим, есть m абитуриентов и n факультетов. На факультете с номером i есть $q_{i}$ мест, суммарное количество мест на всех факультетах не меньше m. Каждый абитуриент подает для обработки компьютерной программой информацию о том, какой факультет является для него первым по предпочтительности, вторым по предпочтительности, и т. д. до последнего. Затем программа на основе этой информации определяет, на какой факультет пойдет каждый абитуриент, с помощью следующей процедуры:
Шаг 1. Каждый абитуриент рассматривается как кандидат на наилучший для себя (согласно поданным предпочтениям) факультет. Если на факультете достаточно мест, чтобы принять всех таких кандидатов, то он принимает их всех. Если мест на факультете i недостаточно, то он принимает $q_{i}$ абитуриентов из числа кандидатов согласно некоторым общеизвестным правилам, которые могут быть разными для разных факультетов. (Например, факультет может быть обязан принимать абитуриентов с наибольшим суммарным баллом ЕГЭ, при равенстве баллов обязан сравнивать абитуриентов по неким другим четко прописанным критериям и т. д.)
Последующие шаги. На каждом последующем шаге каждый абитуриент, отвергнутый на предыдущем шаге, рассматривается как кандидат на наиболее предпочтительный для себя факультет из числа факультетов, на которые он еще не был кандидатом и где еще остались места. Если на факультете достаточно оставшихся мест, чтобы принять всех таких кандидатов, то он принимает их всех. Если мест на факультете недостаточно, то он заполняет оставшиеся места согласно общеизвестным правилам.
Поскольку суммарное количество мест на всех факультетах не меньше, чем общее количество абитуриентов, на каком-то шаге все абитуриенты будут распределены по факультетам. Тогда работа программы заканчивается.
Анализируя работу этого алгоритма, экономисты заметили, что абитуриентам может быть выгодно искажать информацию о своих истинных предпочтениях. Рассмотрим эту проблему на следующем «игрушечном» примере.

Как построить стадион

По случаю Чемпионата мира 2018 года футбольный клуб «Забивака» решил построить новый стадион вместо того, на котором он играет сейчас. Спрос на посещение матчей предъявляют две группы болельщиков –– фанаты клуба и просто ценители красивой игры. Фанаты предъявляют спрос при любой игре команды; их функция спроса имеет вид $q_{1}(p)=60-p$, где p –– цена абонемента на посещение матчей в течение сезона, $q_{1}$ –– количество купленных абонементов. Ценители красивой игры предъявляют спрос на абонементы, только если клуб играл красиво в предыдущем сезоне.

Оптимальная цена при неизвестном спросе

Некоторая фирма-монополист хотела бы установить цену, максимизирующую выручку, однако функция спроса D(p) известна фирме лишь примерно (что соответствует реальности для боль-
шинства фирм). А именно, фирма знает, что для каждой цены $p\in [0;26]$ выполнено
$$
24-p \le D(p) \le 26-p
$$
а также что при p>26 спрос равен нулю. Другой информации о функции спроса нет. В частности, она необязательно линейна.
Какие значения может принимать цена, при которой выручка фирмы максимальна?

Международная торговля и рынок труда

В стране XY производятся два товара — Икс и Игрек; в их производстве используются два фактора — труд и капитал. Общий запас труда в стране (величина рабочей силы) составляет 240 единиц, а капитала — 120 единиц. Для производства X единиц Икса нужны X единиц труда и $X^{2}/120$ единиц капитала. Для производства Y единиц Игрека нужны 2Y единиц труда и Y единиц капитала. Товары Икс и Игрек потребляются только в комплектах, состоящих из одной единицы Икса и двух единиц Игрека. Экономика страны работает так, чтобы максимизировать количество
потребляемых комплектов.

Пол цены для монополиста

По цене $P$ потребители готовы купить $Q(P)=(16/P)^{2}$ единиц продукции монополиста OOO "Боярышник". Общие затраты на производство $Q$ единиц продукции составляют $15\sqrt{Q}+2\sqrt[4]{Q}$ ден. ед., а максимально возможный объем производства равен $256$ единиц. Научные исследования показали, что продукция фирмы приносит вред здоровью, и государство решило ограничить ее потребление, запретив фирме продавать товар по цене, меньшей чем $X$.

Неравенство олигархов

Кривая Лоренца в стране $А$ описывается уравнением $Y = X^2$; иными словами, доля $X ∈ [0; 1]$ наиболее бедного населения получает долю $X^2$ всего дохода общества.

Консультанты

Знаменитая консалтинговая компания MBB занимается оптимизацией процессов на различных предприятиях, отправляя туда команды консультантов. Оптимизацию процессов на одном предприятии назовем проектом (пример проекта: улучшение структуры управления на металлургическом комбинате $X$). Проект длится один месяц. Консультанты бывают двух типов –– опытные и неопытные. Для качественного выполнения проекта в срок можно поставить на проект либо двух опытных консультантов, либо одного опытного и трех неопытных (без одного опытного никак не обойтись, но в одиночку ему не справиться).

Импортозамещение

Мир состоит из четырех стран - Первой, Второй, Третьей и Четвертой; в них могут производиться два товара - Икс и Игрек. Уравнения КПВ четырех стран представлены в таблице. Товары во всех странах потребляются только в комплектах, состоящих строго из $K$ единиц Игрека и одной единицы Икса.

Задача 12 заключительного этапа ВОШ — 2016

В N-ске есть 150 человек, которым утром нужно улететь в Москву (возвращаться они не пла- нируют). Готовность платить за билет каждого из них зависит от времени вылета рейса; для каж- дого пассажира существует некое идеальное для него время вылета, и чем больше отклонение фактического времени от идеального, тем меньше его готовность платить. Готовность платить пассажира i можно рассчитать по формуле
$V_{i}(t)=8−2∣t−t^*_{i} ∣$,

Осторожный Кузьма – 2

Кузьма, знакомый вам по задаче регионального этапа, влюбился и решил подарить девушке красивый букет.