Оптимальная цена при неизвестном спросе

Если бы функция спроса проходила по нижней границе $24−p$, оптимальная цена равнялась бы 12, а если по верхней границе $26−p$, то 13. Поэтому естественно предположить, что оптимальная цена может принимать лишь значения от 12 до 13. В действительности, это не так. Обозначим истинную функцию выручки за $TR(p) = p\cdot D(p)$. Нам известно, что $p(24−p) \le TR(p) \le p(26−p)$. До нижеприведенного решения можно додуматься, если построить графики функций $p(24−p)$ и $p(26−p)$ (см. рис. 5.1) и попытаться вписывать разные графики $TR(p)$ между этими двумя параболами.

Докажем, что оптимальная цена $p^*$ не может быть меньше 8. Действительно, назначая цену $p < 8$, фирма в лучшем случае получит выручку $p(26 − p) < 8 \cdot (26 − 8) = 144$. Если же фирма
назначит цену 12, она получит не меньше, чем $12 \cdot (24 − 12) = 144$. Значит, любая цена, меньшая 8, не может быть оптимальна.
Аналогично, если фирма назначит цену $p > 18$, она в лучшем случае получит выручку $p(26 − p) < 18 \cdot(26−18) = 144$. Если же фирма назначит цену 12, она получит не меньше, чем $12 \cdot(24−12) = 144$. Значит, любая цена, большая 18, не может быть оптимальна.
Наконец, покажем, что любая цена из отрезка [8; 18] может быть оптимальной для какой-то функции спроса $D(p)$, удовлетворяющей условию. Вообще говоря, для каждой цены $\tilde{p} \in [8; 18]$ можно привести «свой» пример функции спроса $\tilde{D}(p)$, такой, что $\tilde{p}$ является оптимальной ценой при спросе $\tilde{D}(p)$. Однако в данной задаче существует единый пример, который покрывает сразу все цены из отрезка [8; 18]. Рассмотрим функцию спроса
\[\hat{D}(p)=\begin{cases}
26 − p, & \text{если }p < 8; \\
144/p, & \text{если }8 \le p < 18; \\
26 − p, & \text{если }18 \le p < 26; \\
0, & \text{если }p \ge 268.\end{cases}\]

Легко проверить, что $24 − p \le \hat{D}(p) \le 26 − p$ и при этом для данной функции спроса оптимальными являются все цены от 8 до 18 (см. рис. 5.2).