Задача

В олимпиадах

Раздел

Баллы

30

Темы

Сложность

6.6
Средняя: 6.6 (5 оценок)

Автор

16.04.2017, 16:35 (Елизавета Демьяненко)
21.07.2017, 01:07


(0)
Распространение культурных норм – сложный процесс, который, по мнению некоторых исследователей, основан на копировании признаков окружающих. Причем часто этот процесс идет неосознанно, и распространенным ответом, например, на вопрос «Почему ты говоришь с таким акцентом?» будет «тут все так говорят», а не «я рассмотрел ряд возможных акцентов и понял, что наибольший выигрыш мне приносит именно этот». Такой выбор вполне может оказаться рациональным, при том что сама норма может быть неэффективной, но устойчивой.
В этой задаче мы исследуем распространение нормы «списывать» в школьной среде. Будем считать, что есть два типа школьников: те, кто честно готовятся к проверочным работам и не списывают, а также те, кто не готовятся и списывают со шпаргалок.

I $\downarrow$ \ II $\rightarrow$ Честный Списывает
Честный 10, 10 -10, 5
Списывает 5, -10 0, 0

Если два честных школьника сидят рядом на проверочной работе, то они честно пишут эту работу и даже получают удовольствие от своей честности. Будем считать, что каждый из них в этом случае получает выигрыш (полезность), равный 10. Если же два списывающих школьника сидят рядом, то, во-первых, у них получается хуже написать, а во-вторых, они нервничают, мешают друг другу и привлекают внимание, из-за чего выигрыш каждого равен 0. В случае, когда списывающий и честный сидят рядом, списывающий получает выигрыш 5, так как списал работу и не сильно привлекал к себе внимание, а честный получает выигрыш (-10), так как не мог ничего нормально решать из-за вопиющей несправедливости, которая творилась рядом с ним.

Учитель борется со списыванием путем постоянного пересаживания школьников. В классе 22 ученика, и в течение месяца (21 учебный день) каждый успевает посидеть с каждым одноклассником за партой по одному разу. По итогам месяца каждый школьник сравнивает полученный суммарный выигрыш с тем выигрышем, который он получил бы, если бы весь месяц вел себя по-другому (с учетом того, как вели себя одноклассники). Если в прошлом месяце ученик списывал, а, будучи честным, получил бы выигрыш строго больше, в следующем месяце он не будет списывать. Если он в прошлом месяце был честным, то выбор нечестного поведения связан с моральными издержками, так что он переключится, только если общий выигрыш от переключения в прошлом месяце вырос бы более чем на 15. Если эти условия не выполняются, то ученик сохраняет свой тип на следующий месяц.

а) (15 баллов) Пусть в первом месяце в классе было X честных и Y списывающих школьников (X и Y могут принимать любые целые неотрицательные значения, такие что X+Y=22). Как будет меняться количество школьников каждого типа в следующие месяцы?

б) (5 баллов) Назовем равновесным классом такой, в котором никто из школьников по итогам месяца не станет менять свой тип. Предположим, что класс был равновесным, когда один из учеников (назовем его Вовочка) на один месяц поменял свой тип ни с того ни с сего (после этого месяца он снова станет обычным учеником, рационально сравнивающим выгоды). Как будет меняться количество школьников каждого типа в следующие месяцы?

в) (10 баллов) Если вы правильно решили пункты а) и б), то у вас должно было получиться, что существует несколько типов равновесных классов, причем один из них является самым предпочтительным для каждого школьника. Предположим, учитель изначально знает, к какому типу принадлежит каждый школьник, и может составлять любой план рассадки на каждый день (необязательно делать так, чтобы каждый сидел с каждым в течение месяца). При каком минимальном значении X учителю удастся добиться, чтобы через конечное число месяцев класс оказался в предпочтительном равновесии?

Комментарии