Задача 3 ОЧ-2018 10 класс

1 случай
$Q \in [0;5] \Rightarrow q_2 \in [0;Q]$. $(10 - Q) \geq 5$, то есть вершина параболы выходит за допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при $q_2 = 0$. То есть при $Q \in [0;5] TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$ Графическая иллюстрация:

2 случай
$Q \in [5;10] \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. $(10 - Q) \in [0;5]$, то есть вершина параболы входит в допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля до вершины, а затем убывает до $q_2 = 5$ то минимальное значение она принимает либо при $q_2 = 0$, либо при $q_2 = 5$, то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при $q_2 = 0 \Rightarrow q_1 = Q$ и при $q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5$. Графическая иллюстрация:

$q_2 = 0 \Rightarrow TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$, ~$q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5 \Rightarrow TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$. Сравнив данные функции, получим:
$$TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [5; ~7,5]\\
25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \in [7,5;~ 10] \end{cases}$$
3 случай
$Q \geq 10 \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. При данных значениях $Q$ вершина параболы $(10-Q)$ меньше 0, следовательно функция издержек убывает по $q_2$ при всех допустимых значениях $q_2$, то есть минимум достигается при $q_2 = 5$. Таким образом, $TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$ при $Q \geq 10$. Итого:
$$TC(Q)= \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\
25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
В таком случае
$$MC(Q)= \begin{cases} Q, & Q \in [0; ~7,5]\\
Q-5, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
Предложение фирмы можно найти графически:
К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены: $PR_1(p) = \frac{p^2}{2}$, ~ $PR_2(p) = p(p+5) - 25 - \frac{p^2}{2} = \frac{p^2}{2} + 5(p-5)$. При $p=5$ фирме безразлично, на каком участке находиться (производить $Q=5$ или $Q=10$). Предложение фирмы в таком случае:
$$Q_s(P)= \begin{cases} P, & P \in [0; ~5]\\
P+5, & P \geq 5
\end{cases}$$
Фирма использует оба цеха при $P \geq 5$.

2. $P_d = 10 - \frac{Q}{3}$, выручка монополиста $TR = 10Q - \frac{Q^2}{3}$. В таком случае прибыль запишется в виде:
$$PR(Q)= \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{3} - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\
10Q - \frac{Q^2}{3} - 25 - \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки $Q = 6$ на первом и $Q = 9$. Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что $PR(6) = PR(9) = 30$. Таким образом, $PR_{max} = 30$ достигается при $Q = 6$ или $Q = 9$.

3. При $Q=6$ $P=8$, а при $Q = 9$ $P = 7$. Очевидно, что при потолке цены выше 7, максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен 9 (т.к. при $P = 7$ фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком $MC$, изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом):

При данном значении потолка цены ($P_{max} = 6,25$) максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при $Q=11,25$, что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным.
К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены:
$$Q^{*}(P_{max})= \begin{cases} 30 -3P_{max}, & P_{max} \in [6,25;~7]\\
P_{max} + 5, & P_{max} \in [5;~6,25]\\
P_{max}, & P_{max} \in [0;~5]
\end{cases}$$
Таким образом, государство должно установить потолок цены $P_{max} = 6,25$. Будет продано $Q=11,25$