Задача 4 ОЧ-2015 (10 класс)

Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив 2 миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют 5% и 20% соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – А и B. Банк «Анжела» имеет категорию А, банк «Виктория» – категорию В. Банки категории А никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории B статистика хуже: в среднем ежегодно 10 из 100 таких банков прекращают платежи.

Задача 2 ОЧ-2015 (10 класс)

Рассмотрим классическую дилемму современного человека: с одной стороны – поддержание физической формы на определенном уровне, а с другой – удовольствие от потребления торта. Пусть уровень физической формы Антона зависит положительно от количества часов, проведенных в спортзале (переменная x), и отрицательно – от единиц съеденного тортика (переменная y): $F(x,y)=x^{2}-xy-y^{2}+73$. Антон точно уверен, что он не проведёт в спортзале больше $3$ часов.

Задача 1 ОЧ-2015 (10 класс)

Фирма «Три Угла», расположенная в стране N, занимается выращиванием волшебных цветов. Волшебные цветы растут сами, так что все издержки фирмы связаны только со строительством забора вокруг поля, на котором она растит свои цветы. Стоимость установки одного метра забора равна $\sqrt[4]{3}$ денежных единиц. Фирма может огородить забором поле любой площади, однако по законам страны N это поле обязательно должно быть треугольным (зато треугольник может быть любым: прямоугольным, тупоугольным, остроугольным).

Задача 4 ОЧ-2014 (10 класс)

В стране Альфа производятся и потребляются всего два вида товаров: бананы и грузовики. Бананы покупают потребители. Грузовики покупают фирмы, которые потом возят на них бананы на рынок. В таблице представлены некоторые данные об экономике этой страны.

Задача 3 ОЧ-2014 (10-11 класс)

Продукцию максимизирующего прибыль монополиста могут приобретать две группы потребителей, функции спроса которых имеют вид: $q_1=10-p$ и $q_2=16-p$, где q – количество товара (в тоннах), а p – цена товара в рублях. Монополист обязан назначать одинаковую цену на товар для всех потребителей. Общие издержки монополиста, измеренные в долларах, заданы уравнением $TC=0{,}5\cdot q^2.$

(а) Обозначим x – валютный курс доллара (рублей за доллар). Для каждого значения валютного курса доллара определите оптимальный выпуск монополиста.

Задача 2 ОЧ-2014 (10-11 класс). Пароходы

Фирма Паровой гигант является монопольным производителем пароходов. У фирмы есть семь потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного парохода. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за пароход, составляет 210 тыс. дублонов. Второй покупатель согласен заплатить за пароход не более 180 тыс. дублонов. Третий — не более 160 тыс. дублонов. Четвёртый — не более 140 тыс. дублонов. Пятый — не более 120 тыс. дублонов. Шестой — не более 100 тыс. дублонов. Наконец, седьмой согласен заплатить за пароход максимум 80 тыс.

Задача 1 ОЧ-2014 (10-11 класс). SuperOil

Общие издержки нефтедобывающей компании SuperOil, измеренные в долларах, описываются уравнением $TC=q^5-20q^3+197q,$ где q — количество баррелей нефти, добываемой компанией. Всю нефть компания поставляет на экспорт. Компания выбирает объём выпуска таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль. SuperOil занимает небольшую долю мирового рынка, поэтому не может влиять на сложившуюся цену.

Задача 4 ОЧ-2016 (10 класс)

Крестьянин Иван владеет двумя полями площадью по 20 гектар. На одном гектаре первого поля можно вырастить 12 тонн пшена или 16 тонн ржи. На гектаре другого поля можно вырастить 8 тонн пшена или 4 тонны ржи. Известно, что Иван выращивает $x_0$ тонн ржи и использует свои земельные ресурсы полностью и эффективно.

Старший брат Ивана владеет одним полем площадью в 40 гектар, на гектаре которого можно выращивать $a$ тонн пшена или $a$ тонн ржи, и предлагает Ивану обменяться злаковыми культурами.

Задача 3 ОЧ-2016 (10 класс)

В стране Омега ($\Omega$) продаются подержанные автомобили. Они бывают двух типов: в хорошем состоянии и в плохом состоянии.

Машины в хорошем состоянии, прослужат долго. Каждый продавец готов продать машину в хорошем состоянии не менее чем за 10 тыс. койнов. Покупатели готовы заплатить за хорошую машину не более 12 тыс. койнов.

Задача 2 ОЧ-2016 (10 класс)

В некотором государстве есть три города: Альфа ($\alpha$), Бета ($\beta$), Дзета ($\zeta$). В каждом из городов есть аэропорт. Города Альфа ($\alpha$) и Бета ($\beta$), а также Бета ($\beta$) и Дзета ($\zeta$) имеют прямое регулярное авиасообщение. Прямого авиасообщения между городами между Альфа ($\alpha$) иДзета ($\zeta$) нет.

На рынке присутствует единственная авиакомпания OpenChampionshipAirways. На рейсах между Альфа ($\alpha$) и Бета ($\beta$) используется самолет А320 с 158 местами.