Блиц

(а) Прибыль фирмы составляет \[\pi(x)=pq-cx=2a\sqrt{x}-x.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вниз) от $\sqrt{x}$, следовательно, максимум достигается при $\sqrt{x}=a$, откуда $x=a^2$. Таким образом, спрос «Джевонс и Ко» на чипы до появления DeepSeek (при $a=2$) был равен $4$, а после появления DeepSeek ($a=5$) увеличился до $25$. Объяснение. В результате появления DeepSeek $MRP_x$ (предельная отдача от использования чипов в денежном выражении) увеличилась: каждый следующий чип стал приносить больше выпуска, т.е. больше выручки при тех же ценах. Поскольку затраты на чипы не изменились, выгодно расширить производство, пока использование дополнительных чипов не перестанет окупаться. Таким образом, несмотря на повышение эффективности использования ресурса, его потребление выросло. Этот эффект известен в экономике как парадокс Джевонса (например, технология, экономящая топливо, ведёт к повышению его суммарного расхода).

(б) Пусть транспортные потоки распределились так: $y$ машин в час едут по новой дороге, а $1000-y$ машин в час — по старой дороге. Если плата за пользование новой дорогой составляет $p$, то суммарные денежно‑временные затраты водителя, выраженные в рублях, составляют $400+\frac{1000-y}{2}$, если он едет по старой дороге, и $300+\frac{y}{3}+p$, если он едет по новой дороге. Водитель поедет по новой дороге, если $300+\frac{y}{3}+p<400+\frac{1000-y}{2}$, т.е. если $y<720-\frac{6}{5}p$, и по старой, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Если $y<720-\frac{6}{5}p$, то водители, выезжающие на развилку между новой и старой дорогой, выберут новую дорогу, так что поток $y$ по ней будет расти, пока не станет равен $720-\frac{6}{5}p$, и до этого же значения он будет падать, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Следовательно, спрос на пользование новой дорогой при стоимости проезда $p$ составляет $y(p)=720-\frac{6}{5}p$. При потоке $y$ по новой дороге суммарные потери времени всех водителей составляют \[(1000-y)\left(40+\frac{1000-y}{20}\right)+y\left(30+\frac{y}{30}\right)=\frac{5}{60}y^2-110y+90000.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вверх), достигающая минимума по $y$ при $y=660$. Следует установить такую стоимость проезда $p$, чтобы достичь оптимальной загрузки новой дороги $y(p)=720-\frac{6}{5}p=660$. Отсюда оптимальная стоимость проезда $p$ составляет 50 рублей.

(в) Пусть в деревне произведено $x$ единиц хлеба. Это означает, что произведено не менее $x$ единиц пшеницы и на производство хлеба затрачено не менее $x$ единиц рабочего времени. На всю производственную цепочку, дающую на выходе хлеб, затрачено не менее $x$ единиц земли и не менее $6x$ единиц рабочего времени. Следовательно, на производственную цепочку, дающую на выходе ткань, остаётся не более $60-x$ единиц земли и не более $300-6x$ единиц рабочего времени. Из такого количества ресурсов можно произвести не более $60-x$ единиц льна, т.е. не более $\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$ единиц ткани. Этот объём производства ткани достижим, так как в предыдущих рассуждениях, где нужно, можно заменить «не менее» и «не более» на «ровно». Хлеба не может быть произведено больше 50 единиц, а ткани — больше 60 единиц. Ответ: $y=\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$, $0\le x\le 50$.

Схема проверки

(а) К1 Получен вывод, что использование чипов увеличилось с 4 до 25 → 2 балла
К1.1 Арифметическая ошибка → минус 1 балл
К1.2 Не подставлены значения $a$ → минус 1 балл
К2 Дано содержательное объяснение → 2 балла
К2.1 Правильные объяснения (2 из 2 баллов) используют:
повышение $MRP_x$
повышение предельной производительности
снижение издержек на производство единицы продукции
повышение эффективности производства
К2.2 Неправильные объяснения (0 из 2 баллов):
упоминание $MR$ без формулы ($MR=p=2$ не изменилась)
стоимость акций упала (не объясняет эффекта)
увеличение объёма производства (без доп. пояснений)
при росте $x$ выручка растёт (без доп. пояснений)
(б) К3 Получен спрос $y(p)=720-\frac{6}{5}p$ или эквивалентное выражение → 1 балл
К4 Правильно выписана целевая функция (суммарные потери времени) → 1 балл
К5 Найдено оптимальное распределение потоков (или дошли до К6 без этого) → 1 балл
К6 Найдена оптимальная плата за проезд $p=50$ → 1 балл
К7 Арифметические ошибки, не влияющие на качественные выводы → минус 1 балл
К8 Арифметические ошибки, влияющие на качественные выводы (например, $p=0$ или $p<0$) → минус 2 балла
К9 Использование числа 999 → минус 1 балл (из 1000 машин/час вычитается одна машина)
(в) К10 Получена формула для куска КПВ $y=60-x$ → 1 балл
К11 Получена формула для куска КПВ $y=75-\frac{3}{2}x$ → 1 балл
К12 Правильно найдена взаимосвязь кусков → 2 балла
К12.1 Есть рисунок, нет формулы $y=f(x)$ → минус 1 балл
К12.2 Найдена точка излома, но взята верхняя огибающая вместо нижней → 0 из 2 баллов
К12.3 Ошибка в нахождении ключевых точек → минус 1 балл
К12.4 Нет указания, что $x\ge 0$ и $x\le 50$ → без снижения
К13 Арифметические ошибки в К10, К11 (в том числе, если один кусок оказался ниже другого и это было проверено) → минус 1 балл