Находим цены одних активов через цены других

а) Цена контракта 1

Контракт 1 обязывает через год купить акцию по 220, значит его будущий доход (payoff) равен
\[
X_1 - 220.
\]
Рассмотрим два портфеля с одинаковым будущим доходом при любом \(X_1\):

• Портфель A: 1 акция. Будущий доход: \(X_1\).
• Портфель B: контракт 1 + 10 облигаций. Будущий доход: \((X_1-220)+10\cdot 22 = X_1\).

Доходы совпадают при каждом \(X_1\), значит при отсутствии арбитража цены сегодня равны:
\[
220 = p_1 + 10\cdot \frac{22}{1.1} = p_1 + 10\cdot 20 = p_1 + 200.
\]
Отсюда \(p_1 = 20\).

б) Цена контракта 3 при \(p_2=30\)

Контракт 2 — это опцион колл со страйком 220: payoff \(\max(X_1-220,0)\).

Контракт 3 — это опцион пут со страйком 220: payoff \(\max(220-X_1,0)\).

Заметим тождество для любого \(X_1\):
\[
(X_1-220) + \max(220-X_1,0) = \max(X_1-220,0).
\]
То есть:
колл = форвард (контракт 1) + пут (контракт 3).

По отсутствию арбитража цены сегодня удовлетворяют:
\[
p_2 = p_1 + p_3.
\]
Подставляем \(p_2=30\) и найденное \(p_1=20\):
\[
30 = 20 + p_3 \;\Rightarrow\; p_3 = 10.
\]

в) Цена контракта 4

По графику доход контракта 4 как функция \(X_1\) можно записать так:
\[
f_4(X_1)=
\begin{cases}
0, & X_1 \le 150,\\
2(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250,\\
2(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300,\\
100, & X_1 \ge 300.
\end{cases}
\]

Контракты 5,6,8 — коллы (право купить), контракт 7 — пут (право продать). Их payoff:

• 5: \(\max(X_1-150,0)\)
• 6: \(\max(X_1-250,0)\)
• 7: \(\max(250-X_1,0)\)
• 8: \(\max(X_1-300,0)\)

Подберем коэффициенты \(a,b,c,d\), чтобы портфель
\[
a\cdot (5) + b\cdot (6) + c\cdot (7) + d\cdot (8)
\]
давал тот же payoff, что и контракт 4, при любом \(X_1\). Подходящий набор (возможны короткие продажи) такой:
\[
a=2,\quad b=-4,\quad c=0,\quad d=2.
\]
Тогда по отсутствию арбитража цена контракта 4 равна цене этого портфеля:
\[
p_4 = 2\cdot 80 + (-4)\cdot 10 + 0\cdot \frac{190}{11} + 2\cdot 1 = 160 - 40 + 2 = 122.
\]

Если хочется обойтись без отрицательных количеств, можно переписать равенство payoff так:
\[
(4) + 4\cdot (6) = 2\cdot (5) + 2\cdot (8),
\]
откуда сразу:
\[
p_4 + 4\cdot 10 = 2\cdot 80 + 2\cdot 1 \Rightarrow p_4 = 162 - 40 = 122.
\]

Ответ: \(p_1=20\), \(p_3=10\), \(p_4=122\).