Неравенство

(а) Пусть $N$ --- население каждой из стран. Рассчитаем $y_1$ и $y_2$ --- доли доходов бедных в суммарном доходе каждой из стран. \[y_1=\frac{10\cdot 0,5N}{10\cdot 0,5N+40\cdot 0,5N}=0,2.\] \[y_2=\frac{20\cdot 0,5N}{20\cdot 0,5N+130\cdot 0,5N}=\frac{2}{15}.\] Значит, коэффициенты Джини в двух странах равны $G_1=x_1-y_1=0,5-0,2=0,3$, $G_2=x_2-y_2=0,5-2/15=11/30$. Следовательно, средний внутристрановой коэффициент Джини равен \[ G_{\text{внутри}}=\frac{G_1+G_2}{2} =\frac{\frac{3}{10}+\frac{11}{30}}{2} =\frac{1}{3}. \] Среднедушевой доход ниже в стране 1, чем в стране 2 ($0,5 \cdot 10+0,5\cdot 40<0,5\cdot 20+0,5\cdot 130$), значит, страна 1 --- более бедная <<группа населения>> в мире. Доля страны 1 в мировом доходе составляет \[\frac{10\cdot 0,5N+40\cdot 0,5N}{10\cdot 0,5N+40\cdot 0,5N+20\cdot 0,5N+130\cdot 0,5N}=\frac{50}{50+150}=0,25.\] Ее доля в мировом населении равна 0,5. Значит, межстрановой коэффициент Джини равен \[ G_{\text{между}} =0,5-0,25=0,25. \] Наконец, чтобы посчитать мировой коэффициент Джини, построим мировую кривую Лоренца. Она представляет из себя ломаную линию, соединяющую точки $(0;0)$, $(0,25; 0,05)$, $(0,5;0,15)$, $(0,75;0,35)$, $(1;1)$. \begin{figure}[h!] \begin{center} \begin{tikzpicture}[ scale=5, axis/.style={thick, -Stealth, black}, dot/.style={circle, fill=black, inner sep=1.5pt}, label/.style={font=\footnotesize} ] \draw[axis] (0,0) -- (1.1,0) node[right] {Доля населения}; \draw[axis] (0,0) -- (0,1.1) node[above] {Доля дохода}; \draw[red, thick] (0,0) -- (1,1); \draw[blue, thick] (0,0) -- (0.25,0.05) -- (0.5,0.15) -- (0.75,0.35) -- (1,1); \draw[dashed] (1,0)--(1,1); \draw[dashed] (0.25,0)--(0.25,0.05)--(0,0.05); \draw[dashed] (0.5,0)--(0.5,0.15)--(0,0.15); \draw[dashed] (0.75,0)--(0.75,0.35)--(0,0.35);

(б) ode[dot] at (0,0) {};

(в) ode[dot] at (0.25,0.05) {};

(г) ode[dot] at (0.5,0.15) {};

(д) ode[dot] at (0.75,0.35) {};

(е) ode[dot] at (1,1) {};

(ж) ode[label, below] at (0.25,0) {0.25};

(з) ode[label, below] at (0.5,0) {0.5};

(и) ode[label, below] at (0.75,0) {0.75};

(к) ode[label, below] at (1,0) {1};

(л) ode[label, left] at (0,0.05) {0.05};

(м) ode[label, left] at (0,0.15) {0.15};

(н) ode[label, left] at (0,0.35) {0.35};

(о) ode[label, left] at (0,1) {1}; \end{tikzpicture} \end{center} \caption{Мировая кривая Лоренца для п. а).} \end{figure} Отсюда находим, что площадь под ней равна $S=0,2625$, а общемировой коэффициент Джини равен \[ G_{\text{мира}} =\frac{1/2-S}{1/2}=1-2S=0,475. \] Ответ: $G_{\text{внутри}}=1/3$, $G_{\text{между}}=1/4$, $G_{\text{мира}}=0,475$.

(п) Определим, как взаимно расположены среднедушевые доходы $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$. Пусть $Y_i$ --- суммарный доход страны $i$. Не нарушая общности, можно считать, что $Y_1\leqslant Y_2$. Тогда \[G_{\text{между}}=0,5-\frac{Y_1}{Y_1+Y_2}=0,3,\] откуда $Y_2/Y_1=4$. Пусть $y_i$ --- доля дохода бедных в каждой стране в ее общем доходе. Тогда \[G_{\text{внутри}}=\frac{1}{2}\left(x_1-y_1+x_2-y_2\right)=\frac{1}{2}\left(1,6-y_1-y_2\right)=0,2,\] откуда \[y_1+y_2=1,2.\] Имеем $b_1=\frac{(1-y_1)Y_1}{(1-x_1)N}$, $a_2=\frac{y_2Y_2}{x_2N}$. Покажем, что из имеющихся данных следует, что $b_11,\] но последнее верно в силу $y_1+y_2=1,2$. Значит, $b_1Ответ: минимальное значение $G_{\text{мира}}$ равно 0,34, максимальное --- 0,46.

Схема проверки

За каждую арифметическую ошибку снижался 1 балл. Если по какому-либо критерию дается больше 1 балла, то эти баллы неделимы. Например, по критерию K5 нельзя получить 1 или 2 балла, только 0 или 3.

Всего за пункт 4 балла, из них: - Нахождение $G_{\text{внутри}}$ --- 1 балл. - Нахождение $G_{\text{между}}$ --- 1 балл. - Нахождение точек излома мировой кривой Лоренца --- 1 балл. - Нахождение $G_{\text{мира}}$ --- 1 балл.

Всего за пункт 8 баллов, из них: - Доказательство того, что $b_13 балла. - Нахождение точек излома мировой кривой Лоренца в зависимости от $y_i$ (или $a_i$, $b_i$) для верного случая $b_11 балл. - Нахождение верного минимального значения $G_{\text{мира}}$ с обоснованием --- 2 балла. - Нахождение верного максимального значения $G_{\text{мира}}$ с обоснованием --- 2 балла.