Задача 2 ОЧ-2018 11 класс

(а) Взаимовыгодный обмен находится в границах: $0.5y\leq1*x\leq2y.$ Следовательно, предлагаемая пропорция 1:1 является выгодной, причем страна $A$ будет специализироваться на производстве товара $x$, а страна $B$ - на производстве товара $y$.

(б) При осуществлении торговли страна $A$ произведет 60 единиц товара $x$, однако обменять сможет только 40, так как страна $B$ производит максимум 40 единиц товара $y$. Таким образом, КТВ страны $B$ задается соотношением $y=40-x$. КТВ страны $A$ описывается ломаной линией в связи с ограничениями на обмен:
$$\displaystyle
y=
\begin{cases}
50-\displaystyle\frac{x}{2}, x \in [0,20]\\
60-x, x \in [20,60]
\end{cases}
$$

(в) В условиях технологического прогресса в стране $A$ будут только расти производственные возможности для товара $x$, а обменивать страна $A$ сможет все равно только 40 единиц, из-за ограничений по производству товара y страной $B$. Таким образом, КТВ страны $B$ не изменится, а КТВ страны $A$ будет иметь вид:
$$\displaystyle
y=
\displaystyle \begin{cases}
70-20a- \displaystyle\frac{ax}{2}, x \in [0,\displaystyle\frac{60}{a}-40]\\~\\
\displaystyle\frac{60}{a}-x, x \in [\displaystyle\frac{60}{a}-40,\displaystyle\frac{60}{a}]
\end{cases}
$$

(г) Отметим для начала, что жители страны $B$ в силу своих предпочтений будут согласны на любое предложение относительно обмена, так как это обеспечивает им большее количество товара $x$.
Максимум выручки страны $A$ при любом значении параметра a будет достигаться в точке излома КТВ. Ее координаты $(\displaystyle\frac{60}{a}-40,40)$.
Отметим также, что функция издержек по производству прогресса соответствует здравому смыслу. Она возрастает при увеличении прогресса, то есть при изменении a от 1 до 0. Кроме того, она стремится к бесконечности при максимально возможном уровне прогресса, то есть при $a\rightarrow0$, что отражает то, что слишком дорого бесконечно вкладываться в прогресс. Теперь найдем оптимальный уровень прогресса:

$
u(a)=2(\displaystyle\frac{60}{a}-40)+3*40- \frac{125}{a}-20a+145 = \displaystyle\frac{120}{a}+40- \frac{125}{a}-20a+145 = 185-\frac{5}{a}-20a
$

Максимум этой функции достигается при $a=0,5$. Суммарная выручка при этом равна 165.