КПВ

В некоторой стране производится только два товара - $X$ и $Y$. Единственным ресурсом является труд, общее количество которого фиксировано. В каждой из двух отраслей предельный продукт труда тем выше, чем больше труда уже занято в этой отрасли. Докажите, что альтернативные издержки производства товара $X$ убывают по мере увеличения его выпуска.

Робинзон Крузо умеет ловить рыбу и крокодилов. Его КПВ описывается формулой $y=5-x^{2} /5$, где $x$ — количество пойманной рыбы, $y$ — количество пойманных крокодилов (в килограммах). Его полезность зависит от количеств потреблённых рыбы и крокодилов следующим образом: $U(x,y)=x+\sqrt[{8/9}]{sin^{2} y+1} $
На мировом рынке рыбу можно продавать и покупать по 0,4 руб./кг, а крокодилов — по 1 руб./кг.
Сколько рыбы и крокодилов будет ловить Робинзон, максимизируя свою полезность?

В стране А товары $x$ и $y$ потребляются в комплектах, в каждом из которых содержится $1$ единица $y$ вместе с $k>0$ единиц $x$. В стране есть 3 региона, их КПВ:

$$y_1 = 25-x_1^2$$
$$y_2 = 50-0.5x_2^2$$
$$y_3 = 42-6x_3$$

Правительство страны выбирает производство в регионах так, чтобы максимизировать суммарное потребление $x$ и $y$ в приведенной выше пропорции. Известно, что сейчас в оптимуме ни один из регионов не имеет своей специализации в производстве, то есть в каждом регионе одновременно производятся ненулевые количества $x$ и $y$.

Малая открытая экономика производит товары икс и игрек в соответствии с КПВ, характеризующейся возрастанием альтернативной стоимости (от 0 до $+\infty$). Экономика продает произведенную продукцию на мировой рынок по ценам $(p_x,p_y)$. Известно, что на кривой $p_y=\sqrt{100-p_x^2}$ стоимость всех произведенных иксов и игреков максимальна и равна 100. Найдите уравнение КПВ.

Фирма производит два товара - $X$ и $Y$. В её распоряжении имеются $100$ единиц труда и $100$ единиц капитала. Фирма самостоятельно распределяет оба ресурса между производством двух товаров. Если на производство товара $X$ направлено $L_X$ единиц труда и $K_X$ единиц капитала, а на производство товара $Y$ - соответственно $L_Y$ и $K_Y$ единиц, то объёмы выпуска равны $X=K_XL_X, Y=K_YL_Y$.

Труд является делимым ресурсом, а капитал распределяется только целыми единицами, поэтому $K_X$ и $K_Y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

В мистической долине Звездной живет фабрика «Фантазия», где трудятся 200 смельчаков под руководством великого мастера Винтажника. Они создают два удивительных предмета - Запыленный Кристалл и Мерцающий Камень. Оборудование на фабрике позволяет каждому работнику каждый день либо создать 0.5 Запыленного Кристалла, либо выковать 1 Мерцающий Камень.

Скоро у студента Ивана сессия и он очень хочет сдать её на "отлично". Но проблема в том, что Ваня любит откладывать всё на последний момент. Времени на подготовку осталось очень мало, всего 12 часов, а ему нужно выучить всю теорию и ещё потренироваться в решении задач. Чтобы выучить один теоретический вопрос ($y$), Ване требуется 20 минут, а для решения одной задачи ($x$) - 45 минут. При этом, наш студент знает, что для того, чтобы полностью правильно решить одну задачу на экзамене, нужно хорошо знать 4 теоретических вопроса.

Стефа Дашкевич за неделю может собрать 24 кг земляники, или прочитать 12 книг, или потратить силы на любую их линейную комбинацию. Если книги приносят девушке удовольствие сразу, то землянику вместо того, чтобы съесть, можно также продать бабкам на базаре по цене 100 рублей за кг. Рубли она тратит на походы в театр с Вадимом: один билет стоит 700 рублей. К счастью, у неё есть Милаша, любимая сестра, которая в неделю собирает 48 кг земляники (за счёт детской прыткости) или 4 сочнейшие шишки. Ей также доступна любая линейная комбинация этих благ.

В исследовательской лаборатории есть два стажёра — Никита и Коля. Научный руководитель решает, как распределить время работы стажёров над двумя имеющимися у него проектами так, чтобы он мог изучить полученные результаты как можно раньше. Научный руководитель может начать изучать материалы только после того, как будут выполнены задания по обоим проектам. Известно, что Коля может выполнить необходимый объём работы на первом проекте за 2 часа, а на втором — за 4 часа, в то время как Никита — за 6 и 2 часа соответственно.

Рассмотрим страну, которая производит два товара — $X$ и $Y$, для производства которых нужен только один ресурс — $K$. Всего в стране имеется 2500 ед. ресурса $K$, а производственные функции стран заданы уравнениями: $$X=\frac{\sqrt{K_X}}{2}; \;\;\; Y=\frac{K_Y}{4}$$
Постройте КПВ и задайте ее уравнением.

а) Постройте КТВ и выведите ее уравнение при условии, что цена на товар $X$ оказалась в $2$ раза больше цены на товар $Y$.