Время на задачки — 5 класс

Двум составителям заданий олимпиады «Верная победа» (которую сокращенно называют ВП) — Александру и Максиму — необходимо составить некоторое количество задачек для этой олимпиады.
Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.

Ягодный пирог — 5 класс

После приключения с Серым волком бабушка отправила Красную шапочку в лес за ягодами, чтобы испечь пироги для лесорубов.
Бабушка знает, что Красная шапочка на сбор каждого килограмма черники тратит ровно 1/8 дня, а на сбор каждого килограмма земляники — ровно 1/12 дня. Девочка собирает ягоды с постоянной скоростью, а количество собранных ей ягод любого вида может быть любым (для упрощения будем считать, что Красная шапочка не обязательно собирает целое количество килограммов ягод).

Фруктовая страна (10-11)

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, B и С), в каждом из которых выращивают персики ($X$) и бананы ($Y$). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков положительны, и в регионе А они больше, чем в регионе B, а в регионе B больше, чем в регионе С. Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 24 тонны. Максимально возможное производство бананов в стране равно 104 тонны.

Фруктовая страна (9)

Во Фруктовой Стране есть три региона (А, B и С), в каждом из которых выращивают персики ($X$) и бананы ($Y$). В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков в регионе А больше, чем в регионе B, а в регионе B больше, чем в регионе С. Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно 20 тонн. Страна потребляет персики и бананы только в пропорции 1:1 и максимизирует потребление фруктов. Известно, что в оптимуме каждый из фруктов производился более, чем в одном регионе.

Сбор ягод

Даша и Катя пошли в лес собирать ягоды. Даша за день может собрать 4 килограмма черники или 8 килограмм земляники, Катя же за день собирает 3 килограмма черники или 9 килограмм земляники. Девочки собирают ягоды с постоянной скоростью и могут собрать нецелое количество килограмм любого вида ягод. Какое максимальное количество земляники девочки вместе смогут принести домой, если бабушка попросила их собрать не меньше трёх килограммов черники для домашних заготовок варенья?

На пути к Олимпу - Задача 1 (КПВ)

Саша готовится к муниципальному этапу по экономике и у него имеется единица времени. Если он потратит $a$ времени на задачи по микроэкономике и $b$ времени на задачи по макроэкономике, то, выложившись на все 100% на олимпиаде, максимальное количество задач, которое он сможет решать по эти двум дисциплинам - это $a$ и $b$ соответственно, а так же, он будет уметь решать любую линейную комбинацию этих количеств.

Постройте КПВ Саши на олимпиаде в координатах задач по макро- и микроэкономике.

Мед и хлопья (10—11)

На левом (L) и правом (R) берегах Молочной реки живут 160 и 200 человек соответственно, которые потребляют на завтрак только блюдо «Хлопья с медом», приготовленное по старинным рецептам. Каждый житель любит такие завтраки и готов их съесть чем больше, тем лучше.

Повышение квалификации

Антон производит два вида товаров - Икс и Игрек. Сейчас его КПВ имеет вид $X+Y=1$.

В течении года Антон может пройти курсы повышения квалификации производства Игрек. Таким образом, увеличив максимальное количество $Y$ до $1+\alpha$* штук. Но, к сожалению, навык производства $X$ потеряется. И в этом случае максимальное количество Иксов составит $1-\alpha ^2$ штук. (КПВ, в случае если он тратит $\alpha$* времени, по прежнему останется линейной)

Постройте КПВ Антона через год.

Визы для экономистов и математиков (Пробная олимпиада в формате Заключительного Этапа Всероссийской олимпиады школьников по экономике)

В стране Р проживает 10 ученых-экономистов и 10 ученых-математиков, причем каждый из них готов тратить на работу только 1 час. За этот час один математик может написать 2 научных статьи или прочитать одну лекцию, а экономист может прочитать две лекции или написать 1 научную статью (будем считать, что каждый из них может любую часть часа потратить на чтение лекции или на написание научной статьи), при этом альтернативные издержки их деятельности постоянны.

Страна Z на мировом рынке

Рассмотрите страну Z, производящую два товара – икс и игрек – с помощью двух факторов производства: капитала и труда. Для производства единицы икса необходимы 4 единицы капитала и 1 единица труда; для производства единицы игрека необходимы 1 единица капитала и 4 единицы труда. Всего в стране есть 100 единиц капитала и 100 единиц труда.

(а) Назовём кривой производственных возможностей (КПВ) линию, ограничивающую в координатах $(x; y)$ множество всех доступных стране комбинаций иксов и игреков. Постройте КПВ страны Z и задайте её аналитически.