Задача 3 ОЧ-2018 8 класс

(а) Определим ожидания жителей на первый день после подключения сети:
Вождь ожидает сохранения статуса-кво, что в его случае соответствует полезности $$U_1=1\cdot(1-1)-A=-A<0$$
Вне зависимости от значений параметра $A$ в первый день он отключится от сети.
Все остальные жители от подключения к сети ожидают полезность $U_i=i\cdot(2-1)-A=i-A$. Соответственно, при $A\leqslant 500$ подключится $n_1=\min\{501-A,499\}$ жителей, для которых $i\geqslant A$, и при $A>500$ не подключится никто.
Утром второго дня в сети будет $n_1$ жителей. Рассмотрим локальный случай $A=1$. Он описывает ситуацию, в которой утром первого дня в сети оказались все жители острова кроме вождя. Соответственно, он присоединится к ним во второй день, и, начиная с этого момента, сеть никто не покинет.
Для всех прочих $2\leqslant A\leqslant 500$ текущие пользователи сети будут оценивать полезность от статуса-кво как $$U_i=i\cdot (n_1-1)-A=i\cdot(500-A)-A$$
В сети останутся пользователи, для которых она неотрицательна:
$$i\cdot(500-A)-A\geqslant0 \to i \geqslant \dfrac{A}{500-A}=-1+\dfrac{500}{500-A}$$
Помним, что для этого $i$ выполняется $i\geqslant A$. Значит, для любого $A\leqslant 499$ житель, подключившийся к сети, останется в ней и на второй день. Случай $A=500$ можно рассмотреть отдельно и понять, что сеть окончательно умрет на второй день.

Все остальные жители будут оценивать полезность
$$U_i=i\cdot (n_1+1-1)-A=i\cdot(501-A)-A$$
Предлагается следующее: ввиду крайне быстрого роста числа пользователей сети поймем, при каких $A$ она не будет заполнена на второй день. Это можно интерпретировать как значения $A$, при которых на второй день вождь, как житель с наименьшим $i$, не подключится:
$$501-A-A<0\to A>250.5\to A\geqslant 251$$
Убедимся: $n_1(A=251)=250\Longrightarrow n_2(A=251):i\cdot 250-251\geqslant 0\Longrightarrow i_{\max}=2$
Значит, при всех $A\leqslant 250$ сеть заполнится на второй день.

На третий день задача неподключенного жителя будет выглядеть так:
$$U_i=i\cdot\left(500-\left\lfloor\dfrac{A}{501-A}\right\rfloor\right)-A\geqslant 0$$

Снова найдем наименьшее значение, при котором не подключится вождь. Без ограничения целочисленности получаем неравенство $$500\cdot 501-500A-A-501A+A^2\geqslant0\to A^2-2\cdot 501A+500\cdot 501\geqslant 0$$
$$A^2-2\cdot 501A+501^2-501\geqslant 0$$
$$501-A\leqslant \sqrt{501}\Longrightarrow A\geqslant 501-\sqrt{501}\Longrightarrow A\geqslant 501-22=479$$
Проверим $479$: $n_1=22,n_2=500-\left\lfloor\dfrac{479}{22}\right\rfloor=500-21=479$ - на третий день вождь подключится.
Понятно, что $A$ надо увеличить
Проверим $480$:
$n_1=21,n_2=500-\left\lfloor\dfrac{480}{21}\right\rfloor=500-22=478$ - на третий день вождь не подключится.
Ответ: при $0\leqslant A\leqslant 250$ на второй день
при $251\leqslant A\leqslant 479$ на третий день
при $480\leqslant A\leqslant 499$ на четвертый день
при $500\leqslant A$ никогда

(б) Каждый из половины пользователей сети на следующий день захочет стать $251$-ым пользователем мессенджера и наоборот. Соответственно, каждый житель племени будет ежедневно менять способ коммуникации, однако на количествах пользователей сети и мессенджера это не отразится.
(в) Согласно определению, сетевой эффект - эффект в экономике и бизнесе, который пользователь товара или услуги оказывает на ценность этого продукта или услуги для других пользователей.