1000 фирм

На совершенно конкурентном рынке действуют 1000 одинаковых фирм, производящих товар $Q$. Функция предельных издержек каждой фирмы $MC(q)=40+200q$, где $q$ – объём продаж одной фирмы. Функция спроса на этот товар имеет вид $Q(P)=280-P$, где $Q$ - совокупный объём продаж, а $P$ – цена товара. Правительство планирует увеличить объём продаж этого товара не менее чем на $10 \%$. Определите минимальный размер адвалорной (% от стоимости товара) субсидии для производителей, которая позволит добиться планируемого увеличения продаж.

Труд в Альфа

В стране Альфа производится всего два товара: $x$ и $y$. Для их производства используется единственный ресурс — труд, причём общее количество труда, доступного в Альфе составляет $L=40$.

Выпуск первого товара следующим образом зависит от количества используемого для его производства труда: $x=L_x$.
Выпуск второго товара следующим образом зависит от количества используемого для его производства труда:
$$ y =\begin{cases} 3L_y, & L_y \lt 20 \\
40+L_y, & L_y \geq 20 \end{cases} $$

Тяп-Ляп

Фирма «Тяп-Ляп» действует в конкурентной отрасли, цена продукции равна $8$ д. е. Известно, что производство q единиц продукции сопряжено для фирмы с издержками в размере $q^2$ д. е. К сожалению, доля $\alpha$ конечной продукции оказывается бракованной, а потому подлежит обязательной утилизации. Уничтожение единицы продукции обходится фирме в $2$ д. е. У фирмы есть возможность снизить процент брака (величину $\alpha$): чтобы доля продукции с дефектом уменьшилась на $1$ пункт, необходимо инвестировать $0,25$ д. е.

Ранок паровозов

Фирма «Гудок» является единственным производителем на рынке паровозов в некоторой стране. У фирмы есть шесть потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного паровоза. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за паровоз, составляет 1000 монет. Второй покупатель согласен заплатить за паровоз не более 800 монет. Третий – не более 600. Четвёртый – не более 400. Наконец, пятый и шестой покупатели согласны заплатить за паровоз максимум по 200 монет. По местным законам фирма обязана продавать все паровозы по одинаковой цене.

Фирма "Бордо"

Фирма «Бордо» может производить только целое число единиц некоторого товара. Выбирая только среди целочисленных объёмов выпуска, фирма решила производить 3 единицы. Общие издержки фирмы задаются соотношением $TC=2Q^2+3Q$. Спрос на рынке, на котором действует фирма, является линейным $P=a-bQ$, минимальная цена, при которой величина спроса равна нулю, равняется 30 у.е. Определите, в каких границах может лежать параметр $b$.

Лицензионная

Выпуск фирмы (Q) следующим образом зависит от количества используемого капитала (K) и труда (L): $Q=10K^{0,5}L^{0,5}$. Цена единицы капитала равна 2 д.е., цена единицы труда равна 2 д.е. В краткосрочном периоде запас капитала фиксирован и равен 4 единицам. Кроме оплаты капитала и труда фирма должна платить за лицензию, лицензионный платёж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

"Сигма" и лицензия

Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$, где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.

Все задачи этой олимпиады

10 класс
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Безработица10
Монополия10
Товар Х10
11 класс
ЗадачаБаллы
Безработица10
Лицензионная10
Монополия 210
Товар Х10
7-9 классы
ЗадачаБаллы
"Сигма" и лицензия10
Монополия10
Спрос и предложение10
Товар Х10

Ностальгия

В маленьком поселке где-то в центральной России на берегу живописной реки одиноко стоит магазин, продающий только клюквенную настойку (других магазинов в поселке нет). Несмотря на то, что настойка особенно популярна в конце лета, годовой спрос на нее всегда равен $q_t=\max\{100-P_t; 0\}$, где $P_t$ – цена бутылки в году $t$, а $q_t$ – количество купленных бутылок в тысячах. Продавец настойки закупает ее у поставщика по цене $c=50$ рублей за бутылку и больше не несет никаких издержек.

Плащи-невидимки

Марья арендовала избу за 225 монет в месяц, купила 5 волшебных ткацких станков по 600 монет каждый. Чтобы купить станки, она взяла кредит под 10% в годовых. Через 5 лет волшебные свойства станков исчезнут и производить на них ничего будет нельзя. Для работы наняла Марья Искусница десять девиц-красавиц на все руки мастериц и начали они ткать скатерти да расшивать их диковинными узорами, пятеро ткут, пятеро — расшивают. Платила им за работу Марья Искусница по 200 монет в месяц.