производственный процесс

Пусть выпуск фирмы зависит от ресурсов $x_1, x_2, \dots, x_n$ и задаётся функцией постоянной эластичности замещения: $$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^u \right)^{\frac{1}{u}}$$ Где $0 < u < 1$. Цена единицы $i$-го ресурса равна $p_i > 0$. Найдите функцию издержек фирмы $TC(Q)$.

У фирмы есть несколько заводов, каждый со своей функцией издержек $TC_i(q_i)$. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
На каждом из заводов $TC_i(0)=0$, функция $TC_i$ нестрого возрастает, а функция средних издержек $AC_i$ строго убывает.
Докажите или опровергните: какой бы ни был Q, фирме будет выгодно произвести весь выпуск целиком на одном заводе.

У фирмы есть несколько заводов, каждый со своей функцией издержек $TC_i(q_i)$. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
На каждом из заводов функция $TC_i$ неотрицательна, а функция предельных издержек неотрицательна и строго убывает.
Докажите или опровергните: какой бы ни был Q, фирме будет выгодно произвести весь выпуск целиком на одном заводе.

Известно, что при постоянных ценах факторов производства из того или иного вида глобальной отдачи от масштаба производственной функции $f$ следует глобальная монотонность средних издержек. А именно:
постоянная отдача от масштаба => AC постоянны
возрастающая отдача от масштаба => AC убывают
убывающая отдача от масштаба => AC возрастают

Рассмотрим производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Цены всех факторов производства $w_1,...,w_n$ фиксированы. Докажите, что если функция $f$ обладает постоянной отдачей от масштаба, то функция средних издержек является константой.

Рассмотрим непрерывную производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Цены всех факторов производства $w_1,...,w_n$ фиксированы. Докажите, что если функция $f$ обладает убывающей отдачей от масштаба, то функция средних издержек возрастает.

Рассмотрим непрерывную производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Она показывает максимальное количество продукта, которое можно получить, имея данный набор факторов производства $\vec x=(x_1,...,x_n)$. Количества всех факторов и выпуска неотрицательны. Цены всех факторов $w_1,...,w_n$ фиксированы.

Докажите, что если функция $f$ обладает возрастающей отдачей от масштаба, то функция средних издержек убывает.

Для справки:

Приведите пример разрывной (т.е. не непрерывной) производственной функции, обладающей возрастающей отдачей от масштаба, или докажите, что такой функции не существует.

Василий производит товар Икс по технологии $q(l)$, где $q$ — выпуск, а $l$ - единственный фактор производства — труд. Производственная функция возрастает и обладает убывающей предельной производительностью.

Предприниматель реализует товар на конкурентном рынке. Назовем «ценами в экономике» пару $(p,w)$, состоящую из цены продукции и заработной платы.

а) Докажите, что при одновременном увеличении всех цен в экономике в $k>1$ раз прибыль фирмы также увеличивается ровно в $k$ раз.

Непрерывная производственная функция $Q=F(L,K)$ характеризуется возрастающей отдачей от масштаба. Докажите наличие для совершенного конкурента на рынке факторов производства в долгосрочном периоде эффекта масштаба.