Продажи в понедельник

В понедельник фирма продала 10 единиц продукции по цене 100 руб. за единицу. Во вторник, снизив цену на свою продукцию, фирма продала 11 единиц, что привело к увеличению её прибыли на 25 руб.

Определите, на сколько руб. фирма снизила цену, если затраты фирмы на производство и продажу каждой единицы продукции постоянны и равны 20 руб.

В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2011

Страна XY

В стране XY единственным фактором производства является труд, рабочая сила составляет 100 единиц труда. Если все они заняты в производстве товаров x или y, то каждая единица труда может произвести 2 единицы первого товара или четыре единицы второго товара. Существует и третий вид деятельности ‒ научные исследования, проводимые в местном университете. Благодаря этим исследованиям, производительность труда может быть увеличена. Если в исследованиях заняты n единиц труда, то производительность растёт в обеих отраслях в (1 + 0,02n) раз по сравнению с первоначальным уровнем.
В олимпиадах: 
Муниципальный этап ВОШ (Москва) — 2016
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Робинзон и туземцы

Робинзон Крузо ожидает, что через 3 года приплывет корабль и заберет его в Европу. Пока же он решил, используя свои навыки в кораблестроении, делать лодки для туземцев. При этом он может, если захочет, нанять себе в помощники одного или двух туземцев (больше народу будет только мешать). Время на постройку одной лодки задается уравнением:
$$t=\frac{12}{2+L},$$
где $t$ - время постройки в месяцах, а $L$ - количество нанятых для постройки туземцев.
В олимпиадах: 
Конкурс РЭШ — 2015

Выведение функции издержек

Найти функцию общих издержек TC(Q), если

  1. $w=2$, $r=1$, производственная функция имеет вид $Q=L+K$
  2. плата за капитал равна зарплате и составляет 1 д.ед, $Q=L+K$
  3. $w=4$, $r=2$, $Q=LK$
  4. $w=1$, $r=5$, $Q=2LK$
  5. $w=2$, $r=1$, $Q=2\sqrt {L} K$

3.6 Производственная функция

Фирма производит свою продукцию, следуя определенной технологии.

Производственная функция показывает налучшую технологическую зависимость между количеством используемых ресурсов и объемом выпуска.

$Q=f(L;K)$

Из производственной функции можно вывести функцию издержек.

Пример 1
Дано: $Q= L \cdot K$, $w=4$, $r=1$, найти функцию общих издержек.

Восстановление функции спроса

Восстановите функцию спроса, найдите функции общей, средней, предельной выручки (недостающие функции), найдите максимальную выручку, если известно:

  1. $MR=12-6Q$
  2. $MR=\dfrac{40}{\sqrt Q}$
  3. $TR=500$
  4. $TR=10Q-2Q^2$
  5. $AR=\dfrac{100}{\sqrt Q}$

AR, MR и максимизация TR

Спрос описывается следующими уравнениями:

  1. $P=17-Q$
  2. $Q=15-5P$
  3. первая группа покупателей - $Q=10-P$; вторая группа - $Q=20-4P$
  4. $Q=\dfrac{100}{P}$
  5. $Q=\dfrac{100}{P^2}$
  6. $P=5$
  7. $Q=5$

Для каждого случая найти функции общей, средней, предельной выручки, также точку где общая выручка будет максимальной.

3.4 Выручка

Определение 1
Выручка (TR) - это доход (денежная сумма), который фирма получает от продажи по некоторой цене какого-то количества произведенной продукции:
$TR=P\cdot Q$

Функция выручки - зависимость между количеством производимого блага и величиной денежной суммы, получаемой от продажи товара. Функция выручки выводится из спроса:

$TR=P(Q)\cdot Q$

Функции выручки могут иметь совершенно разнообразный вид:

Пример 1

3.3 Пара слов о прибыли фирмы.

Экономическим агентом, производящим различные товары и услуги, является фирма. На рынке именно фирмы формируют предложение экономических благ. О фирме и её деятельности мы будем говорить несколько следующих недель.

Основной целью деятельности фирмы является максимизация прибыли (прибыль часто обозначается символом $\pi$). Что такое прибыль? Это разница между выручкой ($TR$, как мы помним) и общими издержками ($TC$ - total cost) - то количество денег, которое фирма заработала, минус то количество денег, которое она потратила.

$\pi=TR-TC$

Два завода: объединение производственных функций

У Вас есть два завода с технологиями $Q_1=F_1(L_1)$ и $Q_2=F_2(L_2)$. Найдите производственную функцию фирмы в каждом из следующих случаев

Подсказка: пользуйтесь определением производственной функции: она показывает максимально возможный объем производства при заданном запасе труда $L$. Ваша задача в том, чтобы оптимально распределить труд между заводами.