Столяр-краснодеревщик и его ученик

Иванов готов будет взять ученика с оплатой стипендии, только если его прибыль не уменьшится. Столяр является монополистом в своем районе, его прибыль до того, как он нанял ученика равна
$$\Pi=TR{Q}-TC(Q)=ATR(Q)\cdot Q - AC(Q) \cdot Q=(25-Q)Q-2Q$$
Максимизируя свою прибыль, Иванов должен производить такое количество сундуков, при котором его дополнительный доход от производства последнего сундука не меньше, чем затраты на его производство, иначе стоило бы сократить количество производимой продукции.Т.е.,
$$TR(\overline{Q}) - TR(\overline{Q}-1) \ge TC(\overline{Q})-TC(\overline{Q}-1).$$
$$(25-\overline{Q})\overline{Q}-(25-(\overline{Q}-1))(\overline{Q}-1) \ge 2$$
$$\overline{Q} \le 12.$$
Кроме того, дополнительный доход от выпуска еще одного сундука не может быть больше, чем издержки на его производство, иначе можно было бы выпустить ещё один сундук, увеличив прибыль. Т.е.,
$$TR(\overline{Q}+1) TR(\overline{Q}-1) \le TC (\overline{Q}+1)-TC(\overline{Q}).$$
$$(25-\overline{Q}-1)(\overline{Q}+1)-(25-\overline{Q})\overline{Q} \le 2,$$
$$\overline{Q} \ge 11$$
Учтем, что возможно только целочисленное значение $\overline{Q}$ , тогда возможны два значения $\overline{Q}:$

$1) \overline{Q} = 12.$

При этом будет установлена цена сундука $\overline{P}=25-\overline{Q}=25-12=13$ тыс. рублей. А прибыль краснодеревщика равна $13\cdot 12 - 2\cdot 12 = 132$ тыс. рублей.

$2)\overline{Q} = 12.$. При этом будет установлена цена сундука $\overline{P}=25-\overline{Q}=25-11=14$ тыс. рублей. А прибыль краснодеревщика составит $14 \cdot 11 - 2\cdot 11=132 $ тыс. рублей.

Таким образом, прибыль Иванова до того, как он взял ученика составляет $132$ тыс. рублей.

Если Иванов нанимает ученика без стипендии, то решая аналогичным образом задачу максимизации его прибыли получаем:

$$(25-\widetilde{Q})\widetilde{Q}-(25-(\widetilde{Q}-1))(\widetilde{Q}-1) \ge 1,$$
$$\widetilde{Q}\le 12.5$$

Следует заметить, что дальнейшее снижение количества изделий приведёт к снижению прибыли.

$$(25-\widetilde{Q}-1)(\widetilde{Q}+1)-(25-\widetilde{Q})\widetilde{Q} \le 1,$$
$$\widetilde{Q}\ge 11.5$$

Учитывая, что количество сундуков может быть только целым значением, получаем $\widetilde{Q}=12$. При этом будет установлена цена сундука $P=25-\widetilde{Q}=25 - 12=13$ тыс. рублей. А прибыль краснодеревщика равна $13\cdot 12- 1\cdot 12 = 144$ тыс. рублей. Максимальный размер стипендии, который будет готов заплатить Иванов составляет разницу между его прибылью при работе с учеником или без него. Эта величина есть

$$144-132=12 \text{ тыс. рублей.} $$

Заметим, что оптимальное количество сундуков в каждом случае можно было найти и другим способом. Прибыль краснодеревщика до найма ученика составляет $\Pi=(25 -Q)Q-2Q$. Кривая, представляющая функцию прибыли, зависящей от объема продаж, является параболой, ветви которой направлены вниз, поэтому максимальное значение прибыли будет достигаться в точке, где $Q=11.5$ . Учитывая, что количество сундуков может быть только целым значением, а парабола является симметричной относительно своей вершины, значения $Q=11$ и $Q=12$ дают одинаковое значение прибыли, которое и является максимальным в данном случае. Аналогично можно найти оптимальное значение сундуков, в том случае, когда нанят ученик.

Критерии проверки:
Полный балл за верное решение – 20 баллов
1) Если для нахождения максимума прибыли использована производная, оценка
снижается на 2 балла.
2) Если не указано, на основании каких вычислений найден максимум (и это непонятно из расчетов), оценка снижается на 2 балла.
3) Если участник заметил, что количество сундуков должно быть целым числом (в решении получается число $11.5$), но при этом использовал только одну соседнюю точку ($11$ или $12$), а не проверил обе, или не обосновал, почему обе
являются решением, то оценка снижается на 1 балл.
4) Если участник не обратил внимание, что количество сундуков – целое число,
и представил решение при $Q=11.5$ (максимальная стипендия в таком случае
равна $11.75$), то оценка снижается на 5 баллов.
5) Решение, при котором было указано, что максимальная стипендия равна
разнице между старым и новым значением средних издержек, или издержек
оценивалось в 0 баллов.
6) Если допущены арифметические ошибки при расчёте прибыли и оптимальных
значений, то оценка снижалась на 1 балл за каждую ошибку.