Конфеты «Дивные»

а) (8 баллов) Поскольку известна выручка и объем продаж, то цена товара составляет 16:2=8, поскольку $TR=pq$.
Так как средние издержки производства постоянны, то издержки производства составляют 2*2=4 , а функция издержек имеет вид $TC=2q$, поскольку $AC=TC/q$.
Для нахождения прибыли фирмы ($\pi =TR-TC-tq$) необходимо знать ставку налога $t$.
Учитывая функцию спроса на конфеты, прибыль монополиста «Сладкоежка» запишем в виде $\pi=(a-q)q-2q-tq=(a-2-t)q-q^2$. Максимум прибыли достигается в точке, являющейся вершиной параболы, ветви которой направлены вниз, $q^*=\frac{a-2-t}{2}$. При этом цена определяется из функции спроса и составит $P^*=\frac{a+2+t}{2}$. Зная цену и объем продаж фабрики, находим ставку налога $t=4$.
Тогда прибыль фабрики составит $\pi =TR-TC-tq=16-4-8=4$.
Итоговая таблица:

P	Q	TR	AC	TC	t	Прибыль
8	2	16	2	4	4	4

б) (12 баллов) Директор прав. Аргументы:
1) Увеличение ставки налога не может увеличить прибыль монополии.
Устанавливая цену товара, монополист выбирает ее таким образом, чтобы прибыль его была максимальна; если бы после увеличения ставки налога прибыль монополии увеличилась, то это означало бы, что прежний (при старой ставке налога) вариант ценообразования не давал монополии максимальную прибыль, поскольку ранее ее прибыль можно было бы увеличить, выбрав ту, комбинацию цены и объема продаж, которую она выбирает при новой ставке налога (т.е. если бы $\pi ^{old} < \pi ^{new}$, то $p^{old}Q^{old}-t^{old}Q^{old}p^{old}
Иначе этот факт можно установить для данного условия задачи, найдя прибыль фирмы в зависимости от значения ставки налога, как от параметра. Учитывая $Q^*=\frac{a-2-t}{2}$, $P^*=\frac{a+2+t}{2}$, находим $\pi ^* = \frac{(a-2-t)^2}{2}$. Откуда заметим, что при росте ставки налога и разумном условии $a-2-t>0$ прибыль монополии снижается.

2) Увеличение ставки налога в данном случае не может принести дополнительную выгоду правительству от налоговых поступлений.
Для данного случая найдем поступления в бюджет страны от налогообложения «Сладкоежки» как функцию от ставки налога. Учитывая $Q^*=\frac{a-2-t}{2}$, запишем размер налоговых выплат $T=tQ^*=\frac{a-2-t}{2} \cdot t$. Таким образом, при значении $a=10$, определенном из условия $Q^*=\frac{a-2-t}{2}=2$ и найденной выше ставке налога $t=4$, налоговые выплаты $T$ являются максимальными ($t=4$ является координатой вершины параболы, ветви которой направлены вниз) и любое изменение ставки налога приведет к снижению выплат фабрики в госбюджет. Следует заметить, что этот вывод справедлив лишь при данных условиях задачи.