Селедка под шубой

б) (3 балла) На острове С изобрели новую секретную технологию, позволяющую получать 1 кг селёдки под шубой из 0,8кг рыбы и 0,2кг свёклы.
Сколько золотых монет будут ежедневно зарабатывать жители всех трех островов в сумме теперь?
Ответ: 200.
Остров С не будет использовать новую технологию, поскольку рыбы на острове С меньше, чем свеклы, начальная технология использует оба ресурса в одинаковой пропорции, а новая технология требует рыбы больше, чем свеклы. Таким образом, суммарный доход трех островов останется прежним.

в) (4 балла) Изобретатели острова С готовы продать новую секретную технологию из пункта б) на другие острова. Какую максимальную сумму будет готов заплатить за технологию остров А, чтобы эта инвестиция окупилась за год? Считайте, что в году 365 дней.
Ответ: 21900.
Острову А использование новой технологии с острова С строго выгоднее, чем использование старой технологии. При использовании в чистом виде и одной, и другой технологии ограничением является количество свеклы на острове. Однако новая технология расходует свеклу экономнее. С помощью первой технологии можно было произвести 4 кг селедки под шубой, с помощью второй – 10 кг. Следовательно, максимальный выигрыш, который может получить остров А от использования новой технологии, равен 60 золотым монетам в день. За год это принесет дополнительную прибыль в размере 21900 монет. Именно столько остров А готов заплатить за эту технологию.

г) (4 балла) Изобретатели острова С готовы продать новую секретную технологию из пункта б) на другие острова. Какую максимальную сумму будет готов заплатить за технологию остров В, чтобы эта инвестиция окупилась за год? Считайте, что в году 365 дней.
Ответ: 0.
Решение: На острове В новая технология использоваться не будет, так как более 12кг селедки под шубой на острове В с помощью двух этих технологий не получится произвести никаким образом, а 12кг можно произвести с помощью старой технологии. Значит, остров В не согласится платить за новую технологию ничего.

д) (6 баллов) Обозначим через $T_{x,y}$ технологию производства селёдки под шубой, при которой на производство 1 кг селёдки под шубой требуется x кг рыбы и y кг свёклы, где $x\leq 0$, $y\leq 0$. Назовем технологию $T_{x,y}$ стандартной, если $x+y=1$. Например, обе технологии, о которых шла речь в предыдущих пунктах, являются стандартными. Изобретатели острова С открыли все стандартные технологии. Сколько золотых в день будет зарабатывать остров С?
Ответ: 60.
Решение 1. Так как на острове С открыты все стандартные технологии, то открыта в том числе и та, при которой ресурсы острова будут израсходованы без остатка, то есть из 2 кг рыбы и 4 кг свёклы будет произведено 6 кг селёдки под шубой. Тогда остров С получит 60 золотых монет. Очевидно, что ни одна стандартная технология не позволит произвести более 6 кг селёдки под шубой. Значит, более 60 золотых монет выручить не получится.
Решение 2. Пусть $\pi (x)$ – заработок острова С при использовании стандартной технологии $T_{x,1-x}$ . Заметим, что $\pi (x) = \min \{ \frac{2}{x},\frac {4}{1-x} \}$. Эта функция имеет глобальный максимум в точке, в которой $\frac {2}{x}=\frac {4}{1-x}$ , то есть в точке 1/3. Остается заметить, что $\pi (1/3)=60$.