Дед Мороз и Снегурочка

Задача

Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2013

9-й класс

Средняя: 4 (3 оценок)

Татьяна Балакина

21.02.2013, 18:12 (Данил Фёдоровых)
25.03.2015, 21:02

(1)

Данил Мыльников

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Пенсионер Аристарх Христофорович решил подработать в новогодние праздники. Ознакомившись с возможными вариантами дополнительного заработка, он остановился на двух приемлемых для себя: осуществлять доставку мелкогабаритных товаров или работать Дедом Морозом. Оба вида работы требуют лишь небольших затрат бензина, но поскольку Аристарх Христофорович решил зарабатывать, не выезжая из своего района, эти расходы невелики и при принятии решения ими можно пренебречь. Каждый рабочий день (независимо от вида деятельности) длится 8 часов, которые можно как угодно разделить между двумя видами деятельности. За один час Аристарх Христофорович сможет нанести один визит клиентам вроли Деда Мороза или доставить ровно 3 заказа. Клиентов, которым одновременно нужен Дед Мороз и заказанный товар, нет. Спрос на Дедов Морозов и курьеров в новогодние праздники таков, что Аристарх Христофорович в любом случае не будет испытывать недостатка в заказах. Считайте, что оба вида деятельности доставляют ему одинаковое удовольствие, поэтому при принятии решения он заботится только о том, чтобы заработать побольше.
а) (5 баллов) Если за каждый визит в роли Деда Мороза Аристарх Христофорович будет получать 800 рублей, а за каждую доставку товара 300 рублей, то сколько он будет зарабатывать ежедневно?
б) (10 баллов) Старшеклассница Снежана предложила Аристарху Христофоровичу поработать вместе с ним в роли Снегурочки. За каждый визит пары (Дед Мороз и Снегурочка) можно заработать 1500 рублей, из которых Снежана требует себе не менее 30 % (на этих условиях она готова работать любое число часов в день). Согласится ли Аристарх Христофорович на предложение старшеклассницы? Если да, сколько часов они будут работать вместе?
в) (10 баллов) Какую максимальную долю от дохода за визит Деда Мороза и Снегурочки будет готов отдать Снежане Аристарх Христофорович, если старшеклассница может работать вместе с пенсионером лишь 4 часа в день?

Решение и ответ

а) (5 баллов) Оплата каждого часа работы по доставке товара составляет $300\cdot 3=900$ рублей, что выше, чем оплата каждого часа работы Дедом Морозом. Поскольку целью Аристарха Христофоровича является получение наибольшего заработка, все свое рабочее время в количестве 8 часов пенсионер будет доставлять товары, зарабатывая $900\cdot 8=7200$ рублей в день.
Ответ: 7200 рублей.
5 баллов за верное решение и правильный ответ:
• − сравнение заработка за час и вывод о том, что выгоднее работать курьером 3 балла;
• − нахождение дневного заработка 2 балла.
Если в решении указано, что ежедневно можно заработать $800\cdot 8 = 6400$ или $900\cdot 8=7200$, и нет окончательного вывода: 2 балла из 5.

б) (10 баллов) Если пенсионер согласится на предложение Снежаны, то каждый час работы Дедом Морозом принесет ему заработок в размере $1500\cdot 0{,}7=1050$ рублей, что больше, чем заработок каждого часа при доставке товаров. Поэтому пенсионер согласится на предложение Снежаны и максимального заработка он сможет добиться, если будет работать Дедом Морозом в течение 8 часов, на что также согласится и старшеклассница.
Ответ: согласится, 8 часов будут работать Дедом Морозом и Снегурочкой.
10 баллов за верное решение и правильный ответ:
• − сравнение заработка за час и вывод о том, что согласится на предложение 6 баллов;
• − определение совместного времени работы 4 балла.
Если заработок посчитан, но нет вывода о том, что пенсионер согласится: 3 балла из 6.
Если имеется ответ «да», а последующие вычисления - неверные или отсутствуют: 1 балл.
Если все рассуждения верные, но сравнение произведено не с тем, с чем требуется: минус 2 балла.

в) (10 баллов) Пенсионер готов будет делиться заработком со Снежаной лишь до тех пор, пока его ежедневный доход не окажется менее 7200 рублей.
Если часовой заработок Деда Мороза после выплаты доли Снежаны будет меньше, чем часовой заработок от доставки товара, то пенсионер откажется от работы Дедом Морозом.
Если же часовой заработок Деда Мороза после выплат доли Снежаны будет равен часовому заработку от доставки товара, то пенсионер сможет заработать столько же, сколько и в пункте (а) в независимости от того, сколько времени он посвятит визитам в качестве Деда Мороза. В этом случае доля заработка Снежаны окажется максимальной, поскольку снижение этой доли приведет к тому, что пенсионер заработает больше, чем в пункте (а) при любом положительном уровне занятости Снежаны.
Таким образом, максимальная доля заработка определяется условием: , откуда .

Ответ: 0,4 или 40%

10 баллов за верное решение и правильный ответ:
• − объяснение (словесное или аналитическое) определения максимальной доли 6 баллов;
• − нахождение этой доли 4 балла.
Если есть правильный ответ (0,4 или 40%), но необходимые вычисления отсутствуют: минус 3 балла.
Если все рассуждения верные, но сравнение произведено не с тем, с чем требуется: минус 2 балла.

Арифметическая ошибка в любом из п. а) – в): минус 1 балл.

Все задачи этой олимпиады

10-й класс

Задача	Баллы
Бесплатный транспорт в Таллине	20
Конфеты «Дивные»	20
Начинающий водитель	20
Ненужные кредиты?	20
Селедка под шубой	20

11-й класс

Задача	Баллы
Акс и бакс	15
Белоснежка и чиновник	15
Волшебный инвестфонд	15
Как оценить теневую экономику?	10
МРОТ и занятость	15
Продажа алкоголя по ночам	15
Электронные деньги	15

9-й класс

Задача	Баллы
Дед Мороз и Снегурочка	25
Еда и топливо	25
Оплата картами	25
Слишком низкие цены	25

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады