Белоснежка и чиновник

а) (3 балла) Используя данные о максимально возможном производстве песка и альтернативной стоимости глины, можно посчитать, что производство необходимых 500 кг глины будет стоить гномам 300 г песка, а эльфам — 250 г песка. Значит, гномы смогут произвести 300 г песка, а эльфы смогут произвести 500 г песка (1 балл).
Если Белоснежка продолжит работать с гномами, она получит $\pi _g=300W-2000$. Если же заключить контракт с эльфами (и платить гномам неустойку), то прибыль составит $\pi _e=500W-3200-1700=500W-4900$. Если вообще не добывать песок, то нужно только платить неустойку 1700. Белоснежка откажется от услуг гномов в двух случаях:
Гномы хуже, чем эльфы. Тогда $500W-4900>300W-2000$ и $W>14{,}5$. (1 балл)
Гномы хуже, чем ничего. Тогда $-1700>300W-2000$ и $W<1$. (1 балл)
Ответ: $W<1$ (вообще не работает) или $W>14{,}5$ (нанимает эльфов)
б) (5 баллов) Если Белоснежка наймет обе бригады, то глину должны производить эльфы: для них это производство в единицах песка стоит дешевле (1 балл). При этом они произведут еще 500 г песка, гномы произведут все 600 г песка, всего будет 1100 г. Прибыль составит $\pi _{ge}=1100W-3200-2000=1100W-5200$. Можно определить следующие интервалы:
$W < 1$. В этом случае прибыль при любом из трех вариантов производства песка меньше, чем -1700, так что нанимать никого не следует. Во всех остальных случаях по крайней мере один вариант лучше этого — нанимать гномов. (1 балл)
$1 < W < 4$. При таких $W$, как уже было показано выше, нанимать только гномов лучше, чем только эльфов (1 балл). Можно убедиться, что при таких $W$ выполнено неравенство $\pi _q>\pi _{ge}$, то есть нанимать только гномов также выгоднее, чем гномов и эльфов. (1 балл)
При $W > 4$, последнее неравенство выполнено в другую сторону, так что нанимать две бригады выгоднее, чем только гномов. Можно убедиться, что нанимать две бригады также выгоднее, чем только эльфов. (1 балл)
Ответ: при никто не нанят, при — гномы, при – обе бригады, в пограничных ситуациях безразлично.
За отнесение пограничных ситуаций к любому из соседних вариантов в пунктах а) и б) не штрафуем. Если пограничные ситуации вообще никуда не относятся, штрафуем на 1 балл.
в) (7 баллов) Из результатов пункта а) можно вывести кривую предложения Белоснежки, если можно нанимать только одну бригаду. Аналогичная функция для любого числа бригад выводится из пункта б):
$$
q=\begin{cases}
0, &\text{ если } W<1,\\
300, &\text{ если } 1 500, &\text{ если } 14{,}5 \end{cases}
$$

$$
q=\begin{cases}
0, &\text{ если } W<1,\\
300, &\text{ если } 1 1100, &\text{ если } 4 \end{cases}
$$
В этих двух функциях отнесение пограничных точек к правым интервалам важно.
Если чиновник купил у Белоснежки больше 500 г песка, то ему нужно продать ровно 500 г, так как там выручка максимальна (1 балл). Ему никогда нет смысла назначать W, которые не являются «пограничными», так как в этом случае можно будет чуть-чуть сократить W и тем самым сократить издержки, не уменьшая количество купленного песка (1 балл).

Сколько бригад можно нанять	Условия пункта а)		Условия пункта б)
Значение W	1	14.5	1	4
Куплено у Белоснежки	300	500	300	1100
Издержки чиновника	300	500*14.5	300	1100*4
Продано на рынок	300	500	300	500
Выручка чиновника	300*700	500*500	300*700	500*500
	(1)	(2)	(3)	(4)

Составление каждого варианта — 1 балл.
Видно, что варианты (1) и (3) одинаковы с точки зрения прибыли, а вариант (4) лучше варианта (2) (выручка одинаковая, издержки меньше). Прибыль варианта (4) нетрудно посчитать: (500 * 500 – 1100 * 4) = 245 600, это больше, чем даже выручка вариантов (1) и (3) (она равна 210 000). Следовательно, чиновник выберет вариант (4): назначит $W = 4$, купит у Белоснежки 1100 г песка, продаст 500 г из них по цене 500.
Сравнение вариантов — 1 балл.