Задачи

В стране $X$ проживают $n$ идентичных избирателей, каждый из которых получает удовольствие от пользования общественными благами и от личного располагаемого дохода. Однако создание общественных благ может быть профинансировано исключительно из подоходных налогов, которые взимаются с избирателей и уменьшают их располагаемый доход. Известно, что уровень счастья типичного избирателя может быть определён как $\theta v(G) + (1 - \theta)v\big(y(1 - t)\big)$, где $y$ д.е.

В регионе $X$ присутствуют два предприятия (Альфа и Бета), каждое из которых производит готовую продукцию исключительно с помощью труда: каждая единица труда может произвести одну единицу продукции в фирме Альфа либо две единицы продукции в фирме Бета. На рынках конечной продукции обе фирмы являются монополистами, при этом спрос на продукцию фирм определяется как $\alpha = 30 - p_{\alpha}$ и $\beta = 40 - p_{\beta}$ соответственно. В то же время, на региональном рынке труда фирмы действуют как совершенные конкуренты, полагая, что никак не могут влиять на заработную плату.

Жителей города Сиград можно разделить на $N$ равных по численности групп так, чтобы в каждой группе у всех был равный доход. При этом люди из разных групп тоже могут получать одинаковый доход. Известно, что самая бедная группа жителей получает $10\%$ доходов всего населения, а самая богатая $–$ $30\%$. При каком $N$ минимально возможное значение коэффициента Джини в городе Сиград будет минимальным? Найдите это значение.

Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих часов $h \geq 0$. Почасовая ставка заработной платы Василия составляет $w$ рублей. Чем дольше рабочий день, тем сильнее устаёт таксист, поэтому издержки на работу в течение $h$ часов для него составляют $2h^2$. Выходя на работу, Василий рассчитывает заработать за день сумму $1600$ рублей, которая является для него точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет