Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

25.03.2009, 13:47 (Григорий Хацевич)
28.12.2011, 18:02
Существуют ли функции, определённые на множестве положительных чисел, с постоянной дуговой эластичностью? То есть такие, что для любых $P_1$, $P_2$ из области определения выполняется: $$\frac{Q(P_2)-Q(P_1)}{P_2-P_1}\frac{P_1+P_2}{Q(P_1)+Q(P_2)}=const$$

Если да, найдите все такие функции. (Можно ограничиться рассмотрением только непрерывных функций.)
Эта задача адресована, в первую очередь, любителям математики.

Определённые шаги к решению этой задачи можно увидеть здесь. Но прежде чем смотреть туда, полезно подумать самостоятельно.

Комментарии

((Q2-Q1)/(P2-P1))*((P1+P2)/(Q1+Q2)) = Const
(короче - c, и эта с равна значению дуг.Е НЕ по модулю,а вообще с + или -)

Рассмотрим произвольную функцию (спроса, предложения - не важно). Рассмотрим ее дуг. Е на отрезке от P до 3Р.
Имеем:
( (Q(3P) - Q(P)) / (3P-P) ) * ( (3P+P)/((Q(3P) + Q(P))= c
Преобразуем
( (Q(3P) - Q(P)) / (2p) ) * ( (4p)/((Q(3P) + Q(P))= c
2Р и 4Р "сократятся" и останется только 2
Перепишем
( (Q(3P) - Q(P))*2 ) / ( Q(3P) + Q(P) ) = с
Перемножаем крест накрест , имеем:
с*Q(3P) + c*Q(P) = 2Q(3P) - 2Q(P)
Выражение 2Q(3P) переносим влево, а c*Q(P) вправо.
Затем слева есть общий множитель - это Q(3P) а справа - Q(P) . Их и вынесем за скобки и получим следующее выражение:
(с-2)*Q(3P) = (-2-с)*Q(P)
Теперь проведём оценку значений.
Во-первых Q(3P) и Q(P) при положительных Р (и вообще с эконом.точки зрения) должны быть больше ноля.это пригодится далее:
Далее рассмотрим 2 варианта:
а)для кривой предложения эластичность всегда больше 0 (при соблюдении закона). Значит с>0
тогда выражение (-2-с) всегда меньше ноля. но чтобы сохранилось равенство, слева тоже должен быть минус. Тогда (с-2) должно быть тоже меньше ноля. Это соблюдется при с<2 . То есть если дуг. Е предл. меньше двух. Тогда дуговая Е степенной функции будет равна показателю степени

б)для кривой спроса при собл.закона спроса эластич.всегда меньше ноля и значит с тоже всегда меньше ноля. Тогда выражение (с-2) всегда меньше ноля. И справа тоже должен быть минус. Это соблюдается при (-2-с)<0, и значение с должно быть с>-2 (не по модулю а вообще). Например, если с=-1 , то (-2+1)<0, и Е дуг. степенной функции спроса будет равна показателю степени. (White brother верно заметил что при степени=1, Е дуг. = Е точ.)

Итак, такие функции есть, они имеют вид степенных функций, с показателями степени для ф-й предложения меньше 2, а для ф-й спроса больше (-2) НЕ по модулю , а так:) (не помню как называется "не по модулю" поэтому пишу просто "а так" :)).

Почему-то вместо Q от (Р) напечаталось §- символ параграфа. Если что учтите это :))
У меня получилось пока что только Q=A/P, функций с другой степенью при P нет.
((Q2-Q1)/(P2–P1))*((P1+P2)/(Q1+Q2)) = Const

Если рассмотреть степенную функцию S или D,не важно,
Q=A*P^C, и для этой функции записать формулу Е дуг., получим:

((A*P_2^C - A*P_1^C) * (P_1 + P_2)) / ((P_2-P_1)*(A*P_2^C + A*P_1^C)) = C

Немного преобразуя и выняся общий множитель, А сократится, получим

((P_2^C - P_1^C) * (P_1 + P_2)) / ((P_2-P_1)*(P_1^C + P_2^C)) = C

Чтобы эта дробь действительно была равна константе, нужно чтобы числитель и знаменатель "сократились", и мы видим, что выражения в числителе и знаменателе похожи, и они сократятся

А)Для предложения при С=1, т.е если P_1^C=P_1 и P_2^C=P_2, тогда
(P_2^C - P_1^C) = (P_2-P_1) ,а (P_1 + P_2) = (P_1^C + P_2^C), они сократятся и получится С=1 - то есть показатель степени равен единице.

Б)Для спроса при С=(-1) , тогда
(P_2^C - P_1^C) = (1/P_2 - 1/P_1), аналогично для сложения только с +. Приводим к общему знаменателю.
Записав всё вместе, имеем :
((Р_1 - Р_2)*(Р_1+P_2)) / (P_2+P_1)*(Р_2 - Р_1)=C
(Там Р2*Р1 сократятся)
Если выненсем знак минус перед дробью, то в числителе можем поменять местами Р_1 и Р_2, и тогда числитель с"сократится" со знаменателем, но Минус перед дробью останется, то есть С=(-1)

Ответ:
Функция Q=a*P^(+или- 1) имеет постоянную точечную и дуговую Е ,равную +или- единице.
Предыдущее решение не опровергает это :))

Да, ведь кривая предложения, проходящая через т.(0;0), а значит имеющая уравнение Qs=aP, имеет постоянную единичную эластичность.
Причем (для любых P1 и P2) P1+P2 в A раз меньше, чем Q1+Q2, а изменение Q в A раз больше, чем изменение P на данном отрезке. Дуговая эластичность тоже постоянна и равна единице.
Вы доказали, что искомые функции имеют эластичность в интервале (-2;2) и нашли две такие функции. Хороший результат! Но вы пока не доказали, что других функций, кроме тех, что вы нашли, нет. А это самое интересное:)
Кстати, я не утверждаю, что вы нашли все функции с постоянной дуговой эластиностью!
Ну по крайней мере, то, что Е может быть только от -2 до +2 , доказывает тот факт, что степенных функций с показателями степени, не входящими в этот интервал не существует :)) Хотя конечно, может есть какие то и другие..
А, кстати, их следует искать только среди степенных, или есть другие (кроме Q=A) , "нестепенные" функции с постоянной дуговой эластичностью?
Q=A - еще одна функция с постоянной дуговой эластичностью. Добавляем её в копилку.
Как было доказано в комментариях к задаче "Постоянная дуговая эластичность?", если дуговая эластичность постоянна, то точечная тоже постоянна. А точечная постоянна только у $Q=Ap^n$
Но ведь раз дуговая эластичность постоянна - она должна быть равна некоторой C на любом отрезке, а вы, Роман, рассмотрели лишь частный случай.
Так что наша E не только находится между значениями -2 и 2, но и заключена интервал [-1;1]
( (Q2-Q1)/(P2-P1) )*( (P1+P2)/(Q1+Q2) )=c
заменим (P1+P2)/(P2-P1)=a
тогда путем преобразований (см. 1 сообщение) получим:
Q2(a-c)=Q1(a+c)
Рассматриваем два случая
1. для кривой спроса
P2-P1<0, следовательно a<0.
заметим также, что с<0;
Q2>0;Q1>0
a+c<0, тогда
a-c<0;
"c" больше "a"
Но значение "a" для кривой спроса стремится к -1 по мере уменьшения (P2-P1), т.е. "c" никак не может быть меньше -1.
c>=-1
2. для кривой предложения аналогично
a>0; c>0
"c" меньше "a"
"а" стремится к 1, предел величины "c" равен 1.
c<=1
Итак -1 <= c <= 1

Теперь легко доказать, что не существует других степенных функций с постоянной дуговой эластичностью кроме тех, у которых -1<=c<=1 (где c-показатель степени) Для этого воспользуемся методом от противного.
Предположим, что есть такая степенная функция предложения с пост. дуг. эластичностью, у которой c>1. Для такой функции найдется отрезок, на котором c>a. Но тогда a-c<0 и величина Q1 (либо Q2) - отрицательна, что противоречит её экономическому смыслу. Следовательно наше предположение неверно и такой функции не существует.
То же самое можно проделать и для степенных функций спроса, у которых с<-1.

"Но значение “a” для кривой спроса стремится к -1 по мере уменьшения (P2–P1)..."
Совсем нет. а стремится к бесконечности, так как вы делите конечную величину (сумму цен) на очень-очень (бесконечно) малое число.
А, точно! Ошибка.
Значит получается, что к единице то "a" стремится при стремлении P1 к нулю.
Иными словами, значение a=(P2+P1)/(P2-P1) варьируется для кривой предложения от 1 до бесконечности; для кривой предложения - от минус бесконечности до -1.
В общем, можно подбирать такие P1 и P2, чтобы получаемые интервалы (ограничивающие "c") все уменьшались и в конечном итоге пришли бы к [-1;1]. А мы как раз-таки имеем право подбирать любые отрезки, ведь дуговая эластичность постоянна на каждом из них и равна "с".

Условие [c > a] для спроса (и [c < a] для предложения) должно выполняться при любых "a". И мы рассматриваем крайние значения этой переменной - (-1) и (+1).

Не понимаю, почему у вас "для кривой спроса P2–P1<0". P2 и P1 - любые положительные цены.
Ну так зависимость между объемом и ценой обратная. В любом случае при движении вдоль кривой либо Q2 < Q1, либо P2 < P1. По этой же причине и "с" будет отрицательной.
я уже не много запутался, что уже доказали, а что нет. Вобщем вот мой вариант:
1.Пусть f(x) - искомая функция. "Вообразим", что мы построили её график. Отметим две точки на этом графике и соеденим их отрезком. Тогда значение точечной эластичности на середине этого отрезка равно значению дуговой эластичности функции f(x) на этом отрезке. Проделаем такое построение кучу раз, с длиной отрезка стремящейся к нулю. Совокупность этих отрезков будем считать графиком функции g(x)
2. Проведём кривую h(x) через середины всех отрезков.
-Так как она будет касаться этих отрезков только в одной точке, то g(x) будет производной для h(x).g(x)=h'(x)
-h(x)должна обладать постоянной точечной эластичностью, тогда значение точечной эластичностей в серединах отрезках будут равны. Ну а они одновременно являются значением дуговой эластичности для f(x). Функция с постоянной эластичносью это h(x)=Ax^n, других нет.

-Поскольку отрезки были очень-очень маленькие можно допустить f(x)=g(x). Тогда
f(x)=h'(x)
f(x)=A(x^n)'
f(x)=Anx^n-1.

Искомые функции описываются уравнением f(x)=Bx^k, других нет.

Совокупность этих отрезков будем считать графиком функции g(x).

Поясните, это как???? Они же друг перед другом будут располагаться, это будет область на плоскости.

хм, а функция $P=c$, где c - константа разве не имеет постоянную дуговую и точечную эластичность?)
бесконечная=постоянная?)
P=c - это не функция $Q(P)$. Функция $Q(P)$ каждому значению P из области определения ставит в соответствие единственное значение Q. Поэтому, строго говоря, это не имеет отношения к данной задаче.
В то же время такие "функции" спроса имеют смысл, т.к. представляют собой предельный случай функций с "очень большой" эластичностью. Например, график функции вида Q=k(c-P) при больших k и не очень больших Q очень похож на прямую P=c, поэтому мы заменяем одно другим, чтобы упростить вычисления.
Пример использования "бесконечной" эластичности: есть такая монополистическая формула MR(Q)=P(Q)*(1+1/e(Q)), где e(Q) - эластичность спроса по цене при данном Q. Как притянуть её за уши к совершенной конкуренции? P=const, $e=-\infty$, подставляем и получаем MR=P. Всё это имеет смысл предельного случая. 1/n всегда больше нуля, но при больших n почти ноль, поэтому на практике мы часто можем заменить 1/n нулём.
ой, а MR(Q)=P(Q)*(1+1/e(Q)) - случайно не часть ли доказательства индекса лернера, но не для точки оптимума?)
Индекс Лернера $L(Q)=\frac{P(Q)-MC(Q)}{P(Q)}$ определен для любой точки, но имеет смысл считать его именно в точке равновесия, раз она описывает то, что происходит на рынке.
Используя формулу связи между MR и P, легко доказать, что в точке оптимума L=-1/e. А вот в других точках она, вообще говоря, не верна.
а ведь $-\frac{1}{E}=\frac{P(Q)-MR(Q)}{P(Q)}$
и в точке оптимума $MR=MC$, значит в ней -$-\frac{1}{E}=\frac{P(Q)-MC(Q)}{P(Q)}$, не так ли?
Так точно. А как выводится формула связи между MR и P, вы знаете?
Недавно узнал.)
Скажите, а доказаттельство (то есть вывод этой формулы) не обязательно помнить наизусть? :)
Я даже не знаю как сходу это вывести)
Самому врядли можно, но если знать, то вспоминается легко. Я вчера забыл и сам потом вывел
А сюда сможешь? :) Пожалуйста.
$\frac{P(Q)-MR(Q)}{P(Q)}=\frac{P(Q)-(P(Q)Q)'}{P(Q)}=\frac{P(Q)-P(Q)-P'(Q)Q}{P(Q)}=-\frac{P'(Q)Q}{P(Q)}$, дальше вроде все понятно)
А именно, нужно доказать, что производные взаимно обратных функции - взаимно обратные величины, и отсюда сразу получить то же утверждение для эластичностей.
В принципе, это очень интуитивно: провести касательную к графику и развернуть тетрадку, поменяв таким образом оси местами:) Но есть очень простое строгое доказательство: продифференцировать тождество f(g(x))=x. Функции слева и справа от знака равенства тождественно равны, поэтому их производные тоже тождественно равны. Отсюда через производную сложной функции мгновенно получаем то, что надо.
ну вот моя идейка... может быть не совсем доведенная до ума, конечно:
p2=k*p1, где k принадлежит R+, p1>0.
тогда простой подстановкой в исходное равенство имеем:
(Q(kp1)-Q(p1))/(Q(kp1)+Q(p1)) = c(k-1)/(k+1), причем равно тождественно, то есть для всех допустимых значений k при заданном значении с. Поделив числитель и знаменатель левой части на Q(p1) после пары преобразований получим:
Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k-1)). Выберем далее для нашей функции масштаб такой что p1=1, это позволительно, поскольку, если условие постоянства дуговой эластичности выполняется для пары цен p1,k*p1, для любых k, то при k=1/p1 имеем пару p1,1,но поскольку цены p1 и 1 в принципе равносильны, то теперь можем менять параметр умножения для p1 и при этом пара 1, m*p1, где m принадлежит R+ также должна удовлетворять условию. То есть мы всегда можем рассмотреть такой масштаб, в котором:
Q(p)=Q(1)*(p+1+c*(p-1))/(p+1-c*(p-1)). изменяя значение Q(1)получим все множество искомых функций.
причем для различных значений с можем получить как функцию спроса, так и функцию предложения.
ПС: в зависимости от того, стоит ли рассматривать случай нулевой и бесконечной эластичности, либо нет, можно нанести определенные ограничения на с, но это уже тонкости.
Вы доказали, что постоянство дуговой эластичности равносильно выполнению равенства Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)) для любых k и p1. Когда вы дальше подставляете p1=1, то сужаете класс функций. Я не смог разобраться в ваших рассуждениях про параметр умножения, но, по-видимому, они содержат ошибку: например, доказано, что случай c=-2 невозможен, а по-вашему - так можно подставлять любое c.
Тем не менее, сделав за вами ещё несколько шагов, я таки пришёл к (новому для меня) правильному доказательству, причём не выходящему за рамки обычной школьной математики и даже (если я не ошибаюсь) не требующему предположения о непрерывности функции $Q(P)$.

Опишу вкратце. Итак, если функция $Q(P)$ имеет постоянную дуговую эластичность c, то для любых k и p1 выполняется Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)). Подставим p1=1. Получаем, что для любого k верно Q(k)/Q(1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)). Воспользовавшись этим выражением, запишем дуговую эластичность в точках k=2 и k=3, и приравняем к c. Преобразовав, получим, что c может принимать только одно из значений: -1,0,1. (Там, правда, есть тонкости, связанные с тем, чтобы не разделить кое-где на ноль. Для полной строгости надо проделать то же самое, взяв k и k+1 вместо 2 и 3, а потом подставить k=2 и k=чему-нибудь другому.) После этого нужно использовать формулу Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)), чтобы, подставляя эти три значения c, найти, как именно выглядят функции с соответствующими постоянными дуговыми эластичностями.

Проделайте и вы то же самое!

да, согласен, накосячил :)подстановкой к и к+1, конечно вернее получается и главное правильнее. я что-то вместо этого пошел окольными путями :)

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки