Задача
В подборках
Эластичность
В олимпиадах
Эластичность
Темы
Сложность
Голосов еще нет
Автор
25.03.2009, 13:47 (Григорий Хацевич)
28.12.2011, 18:02
28.12.2011, 18:02
Существуют ли функции, определённые на множестве положительных чисел, с постоянной дуговой эластичностью? То есть такие, что для любых $P_1$, $P_2$ из области определения выполняется: $$\frac{Q(P_2)-Q(P_1)}{P_2-P_1}\frac{P_1+P_2}{Q(P_1)+Q(P_2)}=const$$
Если да, найдите все такие функции. (Можно ограничиться рассмотрением только непрерывных функций.)
Эта задача адресована, в первую очередь, любителям математики.
Определённые шаги к решению этой задачи можно увидеть здесь. Но прежде чем смотреть туда, полезно подумать самостоятельно.
Комментарии
(короче - c, и эта с равна значению дуг.Е НЕ по модулю,а вообще с + или -)
Рассмотрим произвольную функцию (спроса, предложения - не важно). Рассмотрим ее дуг. Е на отрезке от P до 3Р.
Имеем:
( (Q(3P) - Q(P)) / (3P-P) ) * ( (3P+P)/((Q(3P) + Q(P))= c
Преобразуем
( (Q(3P) - Q(P)) / (2p) ) * ( (4p)/((Q(3P) + Q(P))= c
2Р и 4Р "сократятся" и останется только 2
Перепишем
( (Q(3P) - Q(P))*2 ) / ( Q(3P) + Q(P) ) = с
Перемножаем крест накрест , имеем:
с*Q(3P) + c*Q(P) = 2Q(3P) - 2Q(P)
Выражение 2Q(3P) переносим влево, а c*Q(P) вправо.
Затем слева есть общий множитель - это Q(3P) а справа - Q(P) . Их и вынесем за скобки и получим следующее выражение:
(с-2)*Q(3P) = (-2-с)*Q(P)
Теперь проведём оценку значений.
Во-первых Q(3P) и Q(P) при положительных Р (и вообще с эконом.точки зрения) должны быть больше ноля.это пригодится далее:
Далее рассмотрим 2 варианта:
а)для кривой предложения эластичность всегда больше 0 (при соблюдении закона). Значит с>0
тогда выражение (-2-с) всегда меньше ноля. но чтобы сохранилось равенство, слева тоже должен быть минус. Тогда (с-2) должно быть тоже меньше ноля. Это соблюдется при с<2 . То есть если дуг. Е предл. меньше двух. Тогда дуговая Е степенной функции будет равна показателю степени
б)для кривой спроса при собл.закона спроса эластич.всегда меньше ноля и значит с тоже всегда меньше ноля. Тогда выражение (с-2) всегда меньше ноля. И справа тоже должен быть минус. Это соблюдается при (-2-с)<0, и значение с должно быть с>-2 (не по модулю а вообще). Например, если с=-1 , то (-2+1)<0, и Е дуг. степенной функции спроса будет равна показателю степени. (White brother верно заметил что при степени=1, Е дуг. = Е точ.)
Итак, такие функции есть, они имеют вид степенных функций, с показателями степени для ф-й предложения меньше 2, а для ф-й спроса больше (-2) НЕ по модулю , а так:) (не помню как называется "не по модулю" поэтому пишу просто "а так" :)).
Если рассмотреть степенную функцию S или D,не важно,
Q=A*P^C, и для этой функции записать формулу Е дуг., получим:
((A*P_2^C - A*P_1^C) * (P_1 + P_2)) / ((P_2-P_1)*(A*P_2^C + A*P_1^C)) = C
Немного преобразуя и выняся общий множитель, А сократится, получим
((P_2^C - P_1^C) * (P_1 + P_2)) / ((P_2-P_1)*(P_1^C + P_2^C)) = C
Чтобы эта дробь действительно была равна константе, нужно чтобы числитель и знаменатель "сократились", и мы видим, что выражения в числителе и знаменателе похожи, и они сократятся
А)Для предложения при С=1, т.е если P_1^C=P_1 и P_2^C=P_2, тогда
(P_2^C - P_1^C) = (P_2-P_1) ,а (P_1 + P_2) = (P_1^C + P_2^C), они сократятся и получится С=1 - то есть показатель степени равен единице.
Б)Для спроса при С=(-1) , тогда
(P_2^C - P_1^C) = (1/P_2 - 1/P_1), аналогично для сложения только с +. Приводим к общему знаменателю.
Записав всё вместе, имеем :
((Р_1 - Р_2)*(Р_1+P_2)) / (P_2+P_1)*(Р_2 - Р_1)=C
(Там Р2*Р1 сократятся)
Если выненсем знак минус перед дробью, то в числителе можем поменять местами Р_1 и Р_2, и тогда числитель с"сократится" со знаменателем, но Минус перед дробью останется, то есть С=(-1)
Ответ:
Функция Q=a*P^(+или- 1) имеет постоянную точечную и дуговую Е ,равную +или- единице.
Предыдущее решение не опровергает это :))
Причем (для любых P1 и P2) P1+P2 в A раз меньше, чем Q1+Q2, а изменение Q в A раз больше, чем изменение P на данном отрезке. Дуговая эластичность тоже постоянна и равна единице.
Кстати, я не утверждаю, что вы нашли все функции с постоянной дуговой эластиностью!
А, кстати, их следует искать только среди степенных, или есть другие (кроме Q=A) , "нестепенные" функции с постоянной дуговой эластичностью?
Как было доказано в комментариях к задаче "Постоянная дуговая эластичность?", если дуговая эластичность постоянна, то точечная тоже постоянна. А точечная постоянна только у $Q=Ap^n$
Так что наша E не только находится между значениями -2 и 2, но и заключена интервал [-1;1]
заменим (P1+P2)/(P2-P1)=a
тогда путем преобразований (см. 1 сообщение) получим:
Q2(a-c)=Q1(a+c)
Рассматриваем два случая
1. для кривой спроса
P2-P1<0, следовательно a<0.
заметим также, что с<0;
Q2>0;Q1>0
a+c<0, тогда
a-c<0;
"c" больше "a"
Но значение "a" для кривой спроса стремится к -1 по мере уменьшения (P2-P1), т.е. "c" никак не может быть меньше -1.
c>=-1
2. для кривой предложения аналогично
a>0; c>0
"c" меньше "a"
"а" стремится к 1, предел величины "c" равен 1.
c<=1
Итак -1 <= c <= 1
Теперь легко доказать, что не существует других степенных функций с постоянной дуговой эластичностью кроме тех, у которых -1<=c<=1 (где c-показатель степени) Для этого воспользуемся методом от противного.
Предположим, что есть такая степенная функция предложения с пост. дуг. эластичностью, у которой c>1. Для такой функции найдется отрезок, на котором c>a. Но тогда a-c<0 и величина Q1 (либо Q2) - отрицательна, что противоречит её экономическому смыслу. Следовательно наше предположение неверно и такой функции не существует.
То же самое можно проделать и для степенных функций спроса, у которых с<-1.
Совсем нет. а стремится к бесконечности, так как вы делите конечную величину (сумму цен) на очень-очень (бесконечно) малое число.
Значит получается, что к единице то "a" стремится при стремлении P1 к нулю.
Иными словами, значение a=(P2+P1)/(P2-P1) варьируется для кривой предложения от 1 до бесконечности; для кривой предложения - от минус бесконечности до -1.
В общем, можно подбирать такие P1 и P2, чтобы получаемые интервалы (ограничивающие "c") все уменьшались и в конечном итоге пришли бы к [-1;1]. А мы как раз-таки имеем право подбирать любые отрезки, ведь дуговая эластичность постоянна на каждом из них и равна "с".
Условие [c > a] для спроса (и [c < a] для предложения) должно выполняться при любых "a". И мы рассматриваем крайние значения этой переменной - (-1) и (+1).
1.Пусть f(x) - искомая функция. "Вообразим", что мы построили её график. Отметим две точки на этом графике и соеденим их отрезком. Тогда значение точечной эластичности на середине этого отрезка равно значению дуговой эластичности функции f(x) на этом отрезке. Проделаем такое построение кучу раз, с длиной отрезка стремящейся к нулю. Совокупность этих отрезков будем считать графиком функции g(x)
2. Проведём кривую h(x) через середины всех отрезков.
-Так как она будет касаться этих отрезков только в одной точке, то g(x) будет производной для h(x).g(x)=h'(x)
-h(x)должна обладать постоянной точечной эластичностью, тогда значение точечной эластичностей в серединах отрезках будут равны. Ну а они одновременно являются значением дуговой эластичности для f(x). Функция с постоянной эластичносью это h(x)=Ax^n, других нет.
-Поскольку отрезки были очень-очень маленькие можно допустить f(x)=g(x). Тогда
f(x)=h'(x)
f(x)=A(x^n)'
f(x)=Anx^n-1.
Искомые функции описываются уравнением f(x)=Bx^k, других нет.
Поясните, это как???? Они же друг перед другом будут располагаться, это будет область на плоскости.
В то же время такие "функции" спроса имеют смысл, т.к. представляют собой предельный случай функций с "очень большой" эластичностью. Например, график функции вида Q=k(c-P) при больших k и не очень больших Q очень похож на прямую P=c, поэтому мы заменяем одно другим, чтобы упростить вычисления.
Пример использования "бесконечной" эластичности: есть такая монополистическая формула MR(Q)=P(Q)*(1+1/e(Q)), где e(Q) - эластичность спроса по цене при данном Q. Как притянуть её за уши к совершенной конкуренции? P=const, $e=-\infty$, подставляем и получаем MR=P. Всё это имеет смысл предельного случая. 1/n всегда больше нуля, но при больших n почти ноль, поэтому на практике мы часто можем заменить 1/n нулём.
Используя формулу связи между MR и P, легко доказать, что в точке оптимума L=-1/e. А вот в других точках она, вообще говоря, не верна.
и в точке оптимума $MR=MC$, значит в ней -$-\frac{1}{E}=\frac{P(Q)-MC(Q)}{P(Q)}$, не так ли?
В принципе, это очень интуитивно: провести касательную к графику и развернуть тетрадку, поменяв таким образом оси местами:) Но есть очень простое строгое доказательство: продифференцировать тождество f(g(x))=x. Функции слева и справа от знака равенства тождественно равны, поэтому их производные тоже тождественно равны. Отсюда через производную сложной функции мгновенно получаем то, что надо.
p2=k*p1, где k принадлежит R+, p1>0.
тогда простой подстановкой в исходное равенство имеем:
(Q(kp1)-Q(p1))/(Q(kp1)+Q(p1)) = c(k-1)/(k+1), причем равно тождественно, то есть для всех допустимых значений k при заданном значении с. Поделив числитель и знаменатель левой части на Q(p1) после пары преобразований получим:
Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k-1)). Выберем далее для нашей функции масштаб такой что p1=1, это позволительно, поскольку, если условие постоянства дуговой эластичности выполняется для пары цен p1,k*p1, для любых k, то при k=1/p1 имеем пару p1,1,но поскольку цены p1 и 1 в принципе равносильны, то теперь можем менять параметр умножения для p1 и при этом пара 1, m*p1, где m принадлежит R+ также должна удовлетворять условию. То есть мы всегда можем рассмотреть такой масштаб, в котором:
Q(p)=Q(1)*(p+1+c*(p-1))/(p+1-c*(p-1)). изменяя значение Q(1)получим все множество искомых функций.
причем для различных значений с можем получить как функцию спроса, так и функцию предложения.
ПС: в зависимости от того, стоит ли рассматривать случай нулевой и бесконечной эластичности, либо нет, можно нанести определенные ограничения на с, но это уже тонкости.
Тем не менее, сделав за вами ещё несколько шагов, я таки пришёл к (новому для меня) правильному доказательству, причём не выходящему за рамки обычной школьной математики и даже (если я не ошибаюсь) не требующему предположения о непрерывности функции $Q(P)$.
Опишу вкратце. Итак, если функция $Q(P)$ имеет постоянную дуговую эластичность c, то для любых k и p1 выполняется Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)). Подставим p1=1. Получаем, что для любого k верно Q(k)/Q(1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)). Воспользовавшись этим выражением, запишем дуговую эластичность в точках k=2 и k=3, и приравняем к c. Преобразовав, получим, что c может принимать только одно из значений: -1,0,1. (Там, правда, есть тонкости, связанные с тем, чтобы не разделить кое-где на ноль. Для полной строгости надо проделать то же самое, взяв k и k+1 вместо 2 и 3, а потом подставить k=2 и k=чему-нибудь другому.) После этого нужно использовать формулу Q(kp1)/Q(p1)= (k+1+c*(k-1))/(k+1-c*(k–1)), чтобы, подставляя эти три значения c, найти, как именно выглядят функции с соответствующими постоянными дуговыми эластичностями.
Проделайте и вы то же самое!