Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

1
Средняя: 1 (1 оценка)

Автор

27.12.2011, 23:16 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:29
Найдите все функции $Q(P)$, эластичность которых постоянна.

Комментарии

Идейно решение задачи сводится к решению дифференциального уравнения: $Q'(P)\cdot \frac{P}{Q(P)}=n$ ( $n$ - не очень хорошая переменная для константы, но её беру, чтобы потом при интегрировании константу обозначить по-нормальному ), далее будем использовать $Q$ и подразумевать, что это $Q(P)$.

Уравнение $Q'\cdot \frac{P}{Q}=n$ - дифференциальное уравнение первого порядка, следовательно, решение содержит единственную константу.

$$Q'\cdot \frac{P}{Q}=n\Rightarrow Q'=\frac{nQ}{P}\Rightarrow \frac{dQ}{dP}=\frac{nQ}{P}\Rightarrow \frac{dQ}{Q}=n\frac{dP}{P}\Rightarrow \int \frac{dQ}{Q}=\int n \frac{dP}{P}\Rightarrow \ln |Q|=n\ln |P|+\ln |c|, $$
так как $P>0$ и $Q>0$, то $\ln|Q|=\ln Q, \ln|P|=\ln P$, тогда $\ln Q=\ln (cP^n) \Rightarrow Q(P)=cP^n$ - единственная функция $Q(P)$, обладающая таким свойством.

Объясню то, что Вы написали, тем, кто не знает теорию дифференциальных уравнений: записываем уравнение $\frac{Q'(P)}{Q(P)}=\frac{n}{P}$, замечаем, что левая часть равна производной функции $lnQ(P)$. Значит, сама функция $lnQ(P)$ равна сумме первообразной правой части и константы.
Сам только недавно начал во всё это вникать, и, как ни странно, мне это понравилось:)

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки