Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

7.33333
Средняя: 7.3 (3 оценок)

Автор

29.01.2010, 15:55 (Григорий Хацевич)
28.12.2011, 18:09


(0)
Многие из нас видели в учебниках фразу "Если спрос неэластичен по цене (т. е. модуль эластичности меньше единицы), то при росте цены выручка увеличится". Но эластичности бывают всякие разные, и хочется понять, какая именно эластичность может иметься в виду.

Выберите верные продолжения для фразы "При росте цены с $P_1$ до $P_2$ выручка увеличится в том и только в том случае, если ...":

а) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{P_1}{Q_1}<1$$
б) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{P_2}{Q_2}<1$$
в) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{P_1}{Q_2}<1$$
г) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{P_2}{Q_1}<1$$
д) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}<1$$
е) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{2P_1+3P_2}{2Q_1+3Q_2}<1$$
ж) $$-\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\frac{2P_1+3P_2}{2Q_2+3Q_1}<1$$

Попробуйте сначала выбрать правильные ответы в уме, интуитивно (что бы вы отметили, если бы пришлось выбирать, не имея ручки и бумажки), а уже потом проверьте свою интуицию вычислениями.

Кстати, все эти пункты можно решить графически!

Комментарии

я попозже свое решение выложу. оно полуграфическое, и как мне кажется очень наглядное.
Пусть $ \ DeltaP $ и $ \ Delta Q $ малы, что мы можем сказать, что $ \frac{Q_{2} - Q_{1}}{P_{2} - P_{1}} = Q'(P) $, т.е. функция $ Q(P) $ - деффиринцируема.
Тогда у меня получились ответы: а, б, г, д, ж.
дифференцируемости не предполагается; результат не должен зависеть от малости изменений. Набор ответов неправильный.
Да, я накосил по - страшному.
Пункт а не подходит. А вот пункт д, по - моему, может и подойти, и не подойти, в зависимости от величины изменений. Поэтому его тоже надо откинуть.
Конечно, если рассматривать линейный спрос, то пункт д верен, потому что дуговая эластичность = точечной в середине отрезка(очевидно, только для линейных спросов). Если у нас середина отрезка ниже середины всего спроса, то и выручка вырастет. А вот если это какие - нибудь CES функции, то я не берусь ничего утверждать однозначно: там эта фишка с серединой отрезка не работает из-за того, что функция вогнута, и середина отрезка, соединяющая 2 точки "равновесия" не попадёт на дугу...
Я не совсем понимаю что такое "в том и только в том случае, если ...". Меня это сбивает.
Имеется ввиду, что если выполняется это условие, то этого вполне достаточно чтобы сказать, что при увеличении цены выручка точно увеличится?
Тогда насчёт пунктов е) и ж) мы не можем ничего сказать однозначно. =(
фраза "в том и только в том случае, если" означает то же, что фразы "тогда и только тогда, когда" и "если и только если"; они означают эквивалентность двух утверждений: если первое утверждение верно, то и второе верно; если второе верно, то и первое верно. Из первого следует второе, из второго следует первое.
Помедитируй над этими тремя фразами, чтобы понять их.
Возможно так: в,г,д,ж
Угу
графически решали?
Если не ошибаюсь б) верно только в одну сторону
Что значит в одну сторону?
Именно так: если неравенство б) выполнено, то выручка вырастет. Кстати, этот вывод получается графически, если знать пункт д.
Вот я не могу понять, как лучше подходить к задаче? Вероятно, можно алгебраически сидеть и выводить из одного другое, менять одно на другое с учетом сравнений, потом обратно выводить, но это муторно, ну или по-крайней мере кажется таким...
Да всё просто: берёшь любое из неравенств в, г, д, ж и делаешь эквивалентные преобразования (перемножаешь, раскрываешь скобки, сокращаешь одинаковые члены) и получаешь $P_2Q_2>P_1Q_1$. Поскольку все преобразования были эквивалентными, то по этой цепочке можно вернуться и обратно к неравенству.
Ну а к остальным пунктам как-нибудь придумать контрпримеры.
ну да, я это и описал, интересно, что предложит Евгений)
я предложу вам ещё немного подумать, уверен, что к той же идее, что родилась у меня придете :)
если выручка это p*Q, то попробуйте нарисовать разность выручки на картинке, при этом необходимые неравенства сразу же получатся сами собой :)
да, мегацарь! все в, г, д, ж решаются по картинке, совсем без алгебры
Гриша, зря смеешься, там действительно эти неравенства становятся очевидными, стоит только расписать условие увеличения выручки. я прекрасно понимаю и понимал сразу, как это решается сугубо аналитически, я лишь хочу дать школьникам наглядную интерпретацию того, что они делали
я не смеюсь, я абсолютно искренне! "мегацарь!" - это такой восторженный похвальный возглас.
оу ))) тогда спасибо ))) я подумал, что это было сказано с иронией :) извиняюсь, в 3ем часу что-то мозг усыхает :)
Решал алгебраически. Причем, если получалось неравенство, из которого нельзя сделать однозначного вывода, то считал, что этот вариант не подходит. У меня получилось А, В, Г, Д, Ж. Насколько я понял, А - неправильно (его-то я как раз алгебраически не решал). А если так подумать: в пункте А дано относительное изменение Q относительно P, и оно меньше 1. Это же вроде и есть точечная эластичность. Почему тогда А не подходит?

Ну а графически, на самом деле, проще всего.

всё-таки точечная эластичность - это через производную. Она хотя бы зависит только от одной точки. А тут от двух! В пункте а - просто отношение процентных изменений при переходе из точки 1 в точку 2; в пункте б - наоборот, из точки 2 в точку 1.
Ну и главное, кто сказал, что точечная эластичность как-то связаны с выручкой? Это же надо доказывать.
А как тогда строго доказать пункт А? (графически вроде бы не получается)
построй контрпример с линейным спросом
Понял. Вот например: Qd=10-3P
при Р=1 спрос 7 и выручка 7
при Р=3 спрос 1 и выручка 3
проверим условие: (7-1)*1 меньше чем (3-1)*7

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки