Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

10
Средняя: 10 (1 оценка)

Автор

27.12.2011, 22:58 (Григорий Хацевич)
31.12.2011, 16:48


(0)
Нарисован график некоторой дифференцируемой функции спроса, на нём отмечена точка. Как, глядя на этот рисунок (и, возможно, проведя некоторое дополнительное построение), определить, вырастет ли выручка, если чуть-чуть увеличить цену?

Комментарии

Проведем касательную к кривой спроса (для нелинейного случая). Она пересечет ось цен в некоторой точке $A$, а теперь по геометрическому смыслу эластичности рассмотрим отношение отрезков $OP_0$ и $P_0A$ ($P_0$ - проекция нашей точки на ось цен, $O(0;0)$), если $\frac{OP_0}{P_0A}<1$, то при увеличении $P$ выручка увеличится, если $\frac{OP_0}{P_0A}\geq 1$, то выручка уменьшится.
Контрпример к случаю $ \frac{OP_0}{P_0A}= 1 $: если Q(P)=777/P, то эластичность в любой точке равна 1, однако при увеличении цены выручка не уменьшится.
очень тонко. школьники вряд ли знают про условия высоких порядков.
Владислав, мы можем утверждать это только в случае строгих неравенств, если неравенство обращается в равенство, то ничего о локальном поведении выручки мы не можем
Если честно, я думал не включать равенство, но потом все-таки решил его включить, подумаю, как можно обойти это
да нет, это не надо обходить, просто мы говорим, что в случае равенства необходим дополнительный анализ функции
Если эластичность равна единице, то это максимум выручки (это выводится алгебраически), то есть тогда можно утверждать, что выручка в других точках не увеличится (ни при увеличении, ни при уменьшении $P$). Но вопрос: почему если $\frac {OP_0}{P_0A}< 1$, то при увеличении $P$ выручка увеличится? Если мы увеличим $P$, то поменяется и точка $A$ (а именно, она подвинется вверх и отрезок $P_0A$ увеличится). В то же время отрезок $OP_0$ тоже увеличится. В таком случае отношение $\frac {OP_0}{P_0A}$ может уменьшиться ещё сильнее, то есть эластичность станет ещё меньше и это означает, что $P$ надо уменьшать т.к выручка наоборот падает. Ведь как я понимаю, что бы точно узнать уменьшится или увеличится выручка если увеличить цену в некоторой точке $A$, на кривой спроса нужно найти точку $B$, в которой эластичность равна единице, а потом посмотреть взаимное расположение точек $A$ и $B$. Если $A$ выше, то цену надо уменьшать, если ниже то увеличивать.
А слона-то я и не заметил:). Михаил, спасибо
это может быть и минимум.
точка В вообще может не существовать.
то, что вы написали, верно только для случая линейного спроса
Если стараться писать строгие доказательства, то легче будет самостоятельно находить ошибки в своих утверждениях.
Миш, нарисуй картиночку для линейного спроса сначала, ты сам себе противоречишь первым и последним предложениями)
У тебя эластичность в первой точке меньше единицы, значит цена в этой точке ниже $\frac{a}{2b}$, значит для увеличения выручки (до максимального значения, в частности) нужно увеличить цену
От изменения цены точка А - точка пересечения с осью цен никуда не денется, поэтому отрезок OP0 увеличится, а отрезок AP0 уменьшится
Я имел ввиду как раз не для линейного спроса. Конечно я уже убедился, что там где эластичность равна единице это не всегда максимум и не всегда существует точка с такой эластичностью, но как раз про цену я имел ввиду другое. Допустим есть нелинейный спрос гиперболического вида $\frac{A}{P^n}$. Исходя из своего предыдущего комментария буду решать задачу поиска единичной эластичности. Тогда если мы перейдем из точки $Q_1$ в точку $Q_2$, такую, что $Q_1$<$Q_2$, то цена вырастет, то есть $P_1$<$P_2$. Тогда все отношение $\frac{P}{Q}$ вырастет. Теперь посмотрим, что произойдет с касательной. Перейдя в новую точку касательная будет иметь более вертикальный вид, чем касательная к кривой спрос в предыдущей точке. Тоесть если взять пересечение первоначальной касательной с осью $Q$ и обозначить ее $Q_касательная_1$, а с осью $P$ - $P_касательная_1$, а потом перейти в новую точку и провести через нее касательною, то $Q_касательная_2$ < $Q_касательная_1$, $P_касательная_2$>$P_касательная_1$. Тогда получается, что отношение $\frac{dQ}{dP}$=$\frac{Q_касательная_2}{P_касательная_2}$ уменьшится. В данном случае $P_касательная_2$ и является аналогом точки $A$ в решении Владислава. Тогда посмотрим, что происходит с эластичностью:
$\frac{dQ}{dP}$*$\frac{P}{Q}$ может и увеличиться, а может и уменьшиться т.к левая дробь уменьшается, а правая увеличится. Отсюда я делаю вывод, относящийся к коментарию Владислава, что не обязательно при увеличении P отношение $\frac{OP_0}{P0_A}$, таком, что $\frac{OP_0}{P0_A}$ < 1 увеличится, а если оно уменьшится, то исходя из логики Владислава, оказавшись в новой точке цену надо опять увеличивать, а отношение отрезков все будет уменьшаться и уменьшаться, но очевидно, что выручка расти не будет, хоть отношение отрезков и меньше единицы. Такое объяснение я подрузмевал, когда писал здесь ещё первый комментарий, но возможно я не прав, если так, то прошу поправить меня.
Cпрос с постоянной эластичностью это отдельная песня, мне кажется, тут лучше не трогать отношения отрезков, аналитически все гораздо проще, в две строчки:
$TR=A*P$$n-1$
$TR'=\frac{A*(1-n)}{P^n}$
$n=1$ не рассматриваем, естественно;
при $n<1$ выручка монотонно возрастает при увеличении цены;
при $n>1$ выручка монотонно убывает при возрастании цены;
поэтому максимум выручки здесь в первом случае в назначении максимально возможной цены, а во втором в минимально возможной
поэтому глядя на график ты можешь судить о том, что делать с ценой чтобы увеличить выручку и в этом случае тоже, главное проследить за ограничениями (если они есть)
Вроде ничего не перепутала)
Ирина, но, по условию, у нас функция спроса может быть любой, абсолютно любой; то, что вы написали, действительно верно для функций спроса с постоянной эластичностью, только я немного не понял место, где Вы составляете функцию выручки $TR(P)$, у Вас $(n-1)$ - показатель степении, но, по-моему, там $(1-n)$?
Теперь по самой сути проблемы (возможно я неправильно Вас понял): мы рассматриваем абстрактную убывающую функцию и нам нужно выразить отношение какое-то, здесь без геометрии вообще никак

Михаил, я долго пытался понять, что вы имели в виду с изменением $Q$, но, по-моему, Вы с этим изменением что-то напутали.

Может, где-то я ошибаюсь, исправьте, поздно уже, туго голова соображает

Спасибо, действительно опечаталась, Вы правы
А что касается Вашего замечания, оно имеет место быть, но это был ответ исключительно Мише, про приведенный им случай, про гиперболический вид функции спроса, я не отрицаю, что пока еще никто не назвал (вроде как) способа с точностью что-то определить для любой функции
Да, спасибо, у меня там есть опечатка: должно быть $Q2P1$. Но суть в другом. В общем я пытаюсь доказать, что при увеличении цены, даже если отношение соответственных отрезков меньше единицы, не очевидно, что вырастет выручка. Возможно я не понял вышего доказательства, Владислав, поэтому, если так, то не могли бы Вы поподробнее его расписать, а именно почему именно при увеличении цены выручка должна увеличиться и не может быть противного, при условии, что отношение соответственных отрехков меньше единицы?
Михаил, я думал о том, что Вы написали, ещё после первого Вашего комментария; когда я писал своё "решение", я действительно забыл учесть тот факт, что смещается и точка пересечения касательной и оси цен.

Я ещё подумаю над этим вопросом!

Если честно, я не понимаю, что обсуждаете - Владислав, вроде, в первом же сообщении все верно написал, кроме, знака неравенства (нестрогое неравенство надо заменить на строгое)
Евгений, я начал сомневаться в том, о чем говорит Михаил: в смещении (при изменении цены) точки пересечения касательной (к функции спроса) с осью цен, может, Вы разъясните, что тут делать??

Вопрос к автору задачи: Григорий, а мы в качестве этого некоторого дополнительного построения можем построить график $MR(Q)$ по имеющейся функции спроса:)???

Вряд ли можно на глаз построить график MR сколько-нибудь точно. Я имел в виду проведение касательной.
Я поддерживаю предыдущее замечание Евгения.
Осталось просто решить задачу Эластичность спроса и возрастание выручки
Григорий, а то, что я написал здесь идет в том направлении???
Да, просто надо там записать все логические преходы в доказательстве в той задаче - http://iloveeconomics.ru/zadachi/z1068#comment-15386
У меня вопрос авторам,а если функция ведет себя совсе не монотонно и 2 производная у нее по ходу движения меняет значения как вы узнаете куда двигаться что бы найти мах выручку.Ведь она будет то убывать то возрастать.По моему это дело можно решить только если знаешь саму функцию и остается проверять все её екстремумы

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки