Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

29.01.2010, 18:34 (Григорий Хацевич)
29.01.2010, 19:27
Рассмотрим дифференцируемую, строго убывающую на отрезке $[P_1;P_2]$ функцию спроса.
I. Пусть цена выросла с $P_1$ до $P_2$. Выберите верные утверждения:
а) Если эластичность спроса по цене в точке $P_2$ по модулю меньше 1, то выручка выросла.
б) Если эластичность спроса по цене по модулю меньше 1 в каждой точке отрезка $[P_1;P_2]$, то выручка выросла.

II. Есть ли вообще какая-нибудь связь между точечными эластичностями в точках $P_1$ и $P_2$ и дуговой эластичностью между этими двумя точками? Даёт ли знание каких-нибудь двух из этих чисел хоть какую-нибудь информацию о третьем?

III. Эквивалентны ли следующие три утверждения:
1) выручка нестрого возрастает по P на отрезке $[P_1;P_2]$;
2) эластичность спроса по цене по модулю не больше 1 в любой точке этого отрезка;
3) дуговая эластичность спроса между любыми двумя точками данного отрезка по модулю не больше 1.

Комментарии

В 1й части можно контрпримерами ?
контрпример - док-во того, что утверждение неверно.
У меня получилось 1.а. верно: преобразуем, получим P1Q2+P2Q1< 2P2Q2 откуда следует рост выручки(графически) б. соответственно тоже верно. 2. Рискну предположить, что дуговая эластичность будет лежать между точечными.
1а можно поподробнее
((Q1-Q2)P2)/((P2-P1)Q2)<1 преобразуем получим неравенство выше, нарисуем картинку, на ней обозначим Q2=a, Q1-Q2=b,P1=c,P2-P1=d. неравенство преобразуется в (a+b)(c+d)+ac< 2a(c+d), bc+bd< ad откуда следует bc< ad а это рост выручки
Точечная эластичность - это $\lim\limits_{\Delta P\to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta P}\frac{P}{Q(P)}=Q'(P)\frac{P}{Q(P)}$.
Попробую и я...

I.
А - нет. Контрпример: возьмем P1 так что она находится в области высокой эластичности, а P2 совсем чуть чуть неэластична. Двигаясь от первой точки ко второй, мы будем терять много выручки и лишь чуть-чуть ее в конце получим.
Б - да. В каждой точке будем увеличивать выручку, поэтому и общая тоже увеличится.

II.
Интересный вопрос. Если функция спроса линейна, то, зная две любые, мы можем определить третью. Если вид функции неизвестен, то предположу, что по абсолютному значению дуговая эластичность больше чем P1 и меньше, чем P2.

Кстати, я пишу этот коммент второй раз - первый раз сбой какой-то был, когда я нажал "Сохранить" - но я сфоткал то, что успел (выше написано как раз то, что не попало), поэтому дальше в виде бледной картинки, но вроде бы, читаемо:
piece.jpg
И еще, самое главное снизу картинки не влезло:
Что еще интересного ты знаешь про эластичность?

Все функции (не важно, спроса или предложения) с постоянной эластичностью описываются формулой $Q(p)=Ap^b$ - это можно доказать, решив соответствующее дифференциальное уравнение.
На остальные вопросы вроде совсем просто ответить. Как, скажем, у функции с постоянной эластичностью, равной -2, может быть точка единичной эластичности? Никак. При этом такая функция сколь угодно раз дифференцируема, так что палец не поранишь:)
Ну и про линейную функцию предложения элементарно выводится, что если она выходит не из начала координат, то эластичность либо строго больше, либо строго меньше 1.
А, точно, ведь линейная, выходящая из начала координат это тоже частный случай A*P^b

А что с ответами?

I. а) нет, б) да
II. Никакой связи между точечными эластичностями в двух точках и дуговой эластичностью между этими точками нет.
III. Эквивалентны
То есть неправильно только пункт II?

А почему? Вот пример задания из сборника Акимова: "Точечная эластичность линейной кривой спроса в точке А составляет -2, а дуговая эластичность на отрезке АВ равна -1.5. Определите значение точечной эластичности данной кривой спроса в точке В"

Знаем две - находим третью.

ну так тут дополнительное условие - спрос линеен. тогда конечно связаны. Но в общем случае нет.
Я думаю, что знание точечных эластичностей в точках 1 и 2 не даст нам ничего о дуговой эластичности между этими точками, потому что спрос может хоть как изгибаться (только при условии что он останется спросом, т.е. без парадоксов Гиффена), но быть закреплённым гвоздями в точках 1 и 2. Тогда всевозможные изгибы спроса дадут геометрическую фигуру - квадрат, я прав? Следовательно эластичность может измениться в любую сторону. Это насчёт 2 вопроса.

А про первый я что - то задумался, а какая, например, это может быть функция спроса, что цена растёт, а эластичность сначала на некотором интервале увеличивается, а потом начинает снижаться? Кроме кусочных функций не придумал никаких строго дифференцируемых и красивых :(

Про II. Гвозди как раз однозначно задают дуговую эластичность, а менять ты можешь, изгибая спрос в этих гвоздях, две точечные.

Если хочешь функцию, у которой эластичность не монотонна, реши диффур: напиши эластичность равна такой-то немонотонной функции.
Но какое это имеет отношение к вопросу 1? Там не нужна немонотонная эластичность.

Изгиб в гвоздях даст изменение потому, что мы можем поменять угол касательной?

В 1а. Выручка при повышении цены сначала даёт уменьшение выручки, а потом небольшой рост. В итоге суммарная выручка уменьшится. Поэтому про немонотонность эластичности и вспомнил.

так эластичность-то при этом может монотонно расти (по модулю) - смотри на линейный спрос. Просто сначала она была меньше 1, и выручка росла, а потом стала больше 1, и выручка стала падать
Насчет II согласен, если функция нелинейна, то связи нет.

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки