Григорий Хацевич

Предпочтения Лекса Кографического в отношении наборов из двух товаров описываются следующим образом: из любых двух наборов $(x_1, x_2)$ и $(y_1, y_2)$ предпочтительнее тот, у которого первая координата больше; а если первые координаты равны, то предпочтительнее тот, у которого вторая координата больше.
Найдите функцию полезности $U(x_1, x_2)$, представляющую данные предпочтения, или докажите, что такой функции не существует.

На рынке сигарет конкурируют два производителя. Может ли прибыль каждого из них вырасти, если будет введён запрет на рекламу сигарет? (Постройте таблицу игры, где каждая фирма выбирает из двух стратегий — рекламировать или не рекламировать, задав подходящим образом прибыли фирм в каждом из четырёх исходов. Найдите равновесный исход. Является ли он эффективным?)

В общежитии живёт $n$ студентов. Обсуждается возможность повесить в холле первого этажа плакат c надписью «MR=MC». Чтобы повесить плакат площадью $X$ квадратных метров, нужно собрать $X$ рублей. Студент с номером $i$ опускает в шляпу $x_i$ рублей (он сам выбирает, чему равно его $x_i$). Затем из шляпы достаются деньги и на все эти деньги покупается плакат соответствующей площади. Полезность $i$-го студента задаётся формулой $u_i = X - x_i^2$ (т.е. каждый следующий рубль, затраченный им, приносит ему более ощутимые издержки, чем предыдущий).

Обратная функция рыночного спроса имеет вид $P=a-bQ$. На рынке присутствуют две фирмы. Функция издержек каждой из них: $TC(Q)=cQ$. ($a,b,c$ — положительные константы, причём $a>c$.) $i$-я фирма выбирает объём выпуска $q_i$, и рыночная цена определяется как $P = a - b(q_1 + q_2)$. Найдите прибыли каждой из фирм и суммарную прибыль в каждом из следующих случаев:

Фирма владеет тремя заводами. Их функции издержек изображены на рисунке. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между тремя заводами $(Q=q_1+q_2+q_3)$ так, чтобы минимизировать суммарные издержки. Изобразите на этом же рисунке функцию суммарных издержек $TC(Q)$ как можно точнее и обоснуйте своё решение.

У фирмы есть несколько заводов, каждый со своей функцией издержек $TC_i(q_i)$. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
На каждом из заводов $TC_i(0)=0$, функция $TC_i$ нестрого возрастает, а функция средних издержек $AC_i$ строго убывает.
Докажите или опровергните: какой бы ни был Q, фирме будет выгодно произвести весь выпуск целиком на одном заводе.

У фирмы есть несколько заводов, каждый со своей функцией издержек $TC_i(q_i)$. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
На каждом из заводов функция $TC_i$ неотрицательна, а функция предельных издержек неотрицательна и строго убывает.
Докажите или опровергните: какой бы ни был Q, фирме будет выгодно произвести весь выпуск целиком на одном заводе.

Фирма владеет двумя заводами; для каждого из них дана функция издержек производства на нём: $TC_{1} $ и $TC_{2} $. Когда фирма хочет произвести $Q$ единиц продукции, она распределяет производство между двумя заводами ($Q=q_1+q_2$) так, чтобы минимизировать суммарные издержки.

Найдите функцию суммарных издержек $TC(Q)$ для каждого из следующих случаев (любым удобным способом):
a. $TC_1(q)=5q$, $TC_2(q)=3q$
b. $TC_1 (q)=q^{2} $, $TC_2 (q)=2q^{2} $
c. $TC_1 (q)=\sqrt{q} $, $TC_2 (q)=2\sqrt{q} $
d. $TC_1 (q)=q^{2} $, $TC_2 (q)=10q$

Фирма владеет двумя заводами с функциями издержек $TC_1(q) = q^2$ и $TC_2(q) = q^2$. Когда фирма хочет произвести Q единиц продукции, она распределяет выпуск между двумя заводами ($Q = q_1 + q_2$) так, чтобы минимизировать суммарные издержки. Найдите функцию суммарных издержек $TC(Q)$.
Решите эту задачу пятью способами:

Известно, что при постоянных ценах факторов производства из того или иного вида глобальной отдачи от масштаба производственной функции $f$ следует глобальная монотонность средних издержек. А именно:
постоянная отдача от масштаба => AC постоянны
возрастающая отдача от масштаба => AC убывают
убывающая отдача от масштаба => AC возрастают