Григорий Хацевич

Карлсон потребляет чай и варенье. Его кривые безразличия – окружности с центром в точке, соответствующей 10 литрам чая и 5 килограммам варенья. Чем меньше радиус такой окружности, тем большей полезностью характеризуются точки на данной кривой безразличия. Килограмм варенья стоит 1 руб.; на оба товара Карлсон не может потратить больше своего дохода в 10 руб. Найдите функцию спроса Карлсона на чай.

Найдите спрос на товар $x$ в зависимости от цен $p_x$, $p_y$ и дохода $I$, если функция полезности задаётся формулой:
а) $U(x, y) = x + y$
б) $U(x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}$
в) $U(x, y) = x^{\alpha} y^{\beta}$, где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые положительные числа.

В каждом из пунктов приводится пара товаров и описываются предпочтения потребителя в отношении наборов вида (x,y), где x — количество первого блага, y — количество второго блага. Для каждого из пунктов изобразите карту кривых безразличия и приведите пример функции полезности U(x,y), представляющей данные предпочтения:
а) Сок и компот: чем больше сока я выпью, тем лучше, а количество выпитого компота не имеет значения.
б) Литровые и двухлитровые бутылки с водой; важно лишь общее количество воды.

Сок стоит 2 рубля за литр, компот стоит 4 рубля за литр, у потребителя есть 12 рублей; других товаров не продаётся.
1. Опишите множество доступных потребителю альтернатив, то есть пар (x,y), где x — количество потреблённого сока (в литрах), y — количество потреблённого компота (в литрах); изобразите это множество на графике в координатах x,y.
2. Пусть U(x,y)=x⋅y. Сколько сока и компота купит потребитель?
3. Запишите и покажите на рисунке, какой вид примет множество доступных альтернатив в каждом из следующих случаев:

Робинзон Крузо умеет ловить рыбу и крокодилов. Его КПВ описывается формулой $y=5-x^{2} /5$, где $x$ — количество пойманной рыбы, $y$ — количество пойманных крокодилов (в килограммах). Его полезность зависит от количеств потреблённых рыбы и крокодилов следующим образом: $U(x,y)=x+\sqrt[{8/9}]{sin^{2} y+1} $
На мировом рынке рыбу можно продавать и покупать по 0,4 руб./кг, а крокодилов — по 1 руб./кг.
Сколько рыбы и крокодилов будет ловить Робинзон, максимизируя свою полезность?

Предпочтения потребителя в отношении наборов из двух товаров описываются следующим образом: из любых двух наборов $(x_1, x_2)$ и $(y_1, y_2)$ предпочтительнее тот, у которого первая координата больше; а если первые координаты равны, то предпочтительнее тот, у которого вторая координата больше.
Найдите функцию полезности $U(x_1, x_2)$, представляющую данные предпочтения, или докажите, что такой функции не существует.

На рынке сигарет конкурируют два производителя. Может ли прибыль каждого из них вырасти, если будет введён запрет на рекламу сигарет? (Постройте таблицу игры, где каждая фирма выбирает из двух стратегий — рекламировать или не рекламировать, задав подходящим образом прибыли фирм в каждом из четырёх исходов. Найдите равновесный исход. Является ли он эффективным?)

В общежитии живёт $n$ студентов. Обсуждается возможность повесить в холле первого этажа плакат c надписью «MR=MC». Чтобы повесить плакат площадью $X$ квадратных метров, нужно собрать $X$ рублей. Студент с номером $i$ опускает в шляпу $x_i$ рублей (он сам выбирает, чему равно его $x_i$). Затем из шляпы достаются деньги и на все эти деньги покупается плакат соответствующей площади. Полезность $i$-го студента задаётся формулой $u_i = X - x_i^2$ (т.е. каждый следующий рубль, затраченный им, приносит ему более ощутимые издержки, чем предыдущий).

Обратная функция рыночного спроса имеет вид $P=a-bQ$. На рынке присутствуют две фирмы. Функция издержек каждой из них: $TC(Q)=cQ$. ($a,b,c$ — положительные константы, причём $a>c$.) $i$-я фирма выбирает объём выпуска $q_i$, и рыночная цена определяется как $P = a - b(q_1 + q_2)$. Найдите прибыли каждой из фирм и суммарную прибыль в каждом из следующих случаев:

Фирма владеет тремя заводами. Их функции издержек изображены на рисунке. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между тремя заводами $(Q=q_1+q_2+q_3)$ так, чтобы минимизировать суммарные издержки. Изобразите на этом же рисунке функцию суммарных издержек $TC(Q)$ как можно точнее и обоснуйте своё решение.