Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

10
Средняя: 10 (1 оценка)

Автор

27.12.2011, 22:57 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:29


(0)
Как связаны эластичность спроса по цене в некоторой точке и возрастание/убывание выручки (при увеличении цены) в окрестности этой точки?

Комментарии

Если $E_{P}^{d}<1$, то, при незначительном увеличении цены, выручка вырастет.
Если $E_{P}^{d}\geq1$, то, при незначительном увеличении цены, выручка уменьшится.
Владислав, сможешь это доказать в общем виде? То есть для $-\frac{Q_2 - Q_1}{P_2 - P_1}*\frac{P_1}{Q_1} < 1$, доказать $TR_2 > TR_1$.
Вообще я имел в виду точечную эластичность, то есть которая определяется через производную, а не эластичность перехода. А для того, что ты написал, есть задача "Выручка и зоопарк эластичностей" - вспомни отборочный тур к экбою.
$MR = Q* dP(1-Ed)$. При E>-1, увеличивая цену получаем MR>0. Следовательно, TR2>TR1. Аналогично и для эластичного спроса.
Роман, по-моему, Вы немного намудрили с $MR$, но, по-моему, это очень и очень хорошая идея - выразить все так:)

Накидаю, что получил: на сайте неоднократно доказывалось, да и принимается это уже за общеизвестный факт, что $MR=P(1+\frac{1}{E_{P}^{d}})$

По знаку $MR$ мы можем определить возрастание/убывание выручки, $P>0$ всегда (по экономическому смыслу), следовательно, если $1+\frac{1}{E_{P}^{d}}>0 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}<-1 \Longrightarrow $ в окрестностях этой точки $MR>0$;
$1+\frac{1}{E_{P}^{d}}<0 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}>-1 \Longrightarrow $ в окрестностях точки $MR<0$.

Не судите строго!

Согласен с твоим решение тоже :). Просто я хотел доказать конкретно через dP :)
Постараюсь объяснить: преобразовав Ваше усовие: $MR = Q* dP(1-Ed)$ (кстати, я не понял почему в скобках "-"), мы получим $MR=Q \cdot dP-P \cdot dQ$, не понятно мне что мы дифференцируем и по какой переменной дифференцируем, постарайтесь разобраться:)

Update: все-таки решил исправить на "-" в выражении $MR=Q \cdot dP-P \cdot dQ$

Ed по модулю.
Не усложняйте:) Здесь без модуля лучше, заморочек поменьше.
С этим разобрались, но что тогда с $dP$ и $dQ$?
http://microeconomica.economicus.ru/index1.php?file=4-5 Вот глянь Гальперина, он подробно выводит. Нет возможности сейчас расписать.
Нашел у себя Гальперина, попытался во все это въехать. В общем: там не дифференциалы, там дельты!! Вы знаете в чем разница, если нет то могу объяснить:)??

Оффтоп: "Дельта" склоняется или нет??

Дельта показывает абсолютное изменение, а дифференциал относительное. Вроде так.
нет. строгое определение не очень простое.
изменение функции - это $f(x_1)-f(x_0)$, а дифференциал - это линейная часть приращения, то есть $f'(x_0)(x_1-x_0)$
Кто-нибудь из авторов сайта или опытных пользователей может объяснить: суть решения сводится именно к доказательству и анализу утверждения $ MR=P(1+\frac{1}{E_{P}^{d}}) $ ??

Буду очень благодарен:)

Нужно как-нибудь перейти от эластичности спроса к производной выручки. Можно в процессе и эту формулу вывести.
Можете чётко прописать ответ на вопрос задачи и логическую схему его доказательства? Я не нашёл этого в комментах выше.
Постараюсь объяснить:

Так как функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке, и если мы рассматриваем какую-то точку на графике этой функции, то будет существовать окрестность этой точки.

Теперь разберемся с предельной выручкой: что такое предельная выручка? Это приращение общей выручки в данной точке. Если это приращение положительно, то общая выручка растет, отрицательно - уменьшается (это по определению производной), то есть если $MR(Q_0)>0$, то мы можем чуть-чуть увеличить цену и в результате увеличим выручку.

Определим зависимость $MR(E_{d}^{P})$: $$MR=TR'(Q)=(P(Q)\cdot Q)'=P'(Q)\cdot Q+Q'\cdot P(Q)=\frac{dP}{dQ}\cdot Q+P(Q)=P\cdot \frac{dP}{dQ}\cdot \frac{Q}{P}+P=P(1+\frac{1}{E_{d}^{P}})$$

Итак $MR(E_{d}^{P})=P(1+\frac{1}{E_{d}^{P}})$, где $P$ - параметр (причем $P>0$). Теперь посмотрим, когда $MR>0$ и когда $MR<0$:

$MR>0 \Leftrightarrow 1+\frac{1}{E_{P}^{d}}>0 \Longleftrightarrow \frac{1}{E_{P}^{d}}>-1 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}<-1 \Longrightarrow$ в окрестностях каждой точки,в которой выполняется условие $E_{P}^{d}<-1$ общая выручка будет увеличиваться при увеличении цены;

Теперь второй случай: $MR<0 \Leftrightarrow 1+\frac{1}{E_{P}^{d}}<0 \Longleftrightarrow \frac{1}{E_{P}^{d}}>-1 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}>-1 \Longrightarrow$ в окрестностях каждой точки, где выполняется условие $E_{P}^{d}>-1$ общая выручка будет увеличиваться при увеличении цены.

Также можно рассмотреть вырожденный случай, когда $E_{P}^{d}=с {\text{ }} (с=const)$

Как-то так:)

Окрестность точки $x_0$ - это просто интервал, содержащий эту точку. Как правило, рассматривают интервал с центром в точке $x_0$, то есть $(x_0-\varepsilon;x_0+\varepsilon)$, где $\varepsilon$ - некоторое положительное число. Соответственно, окрестность точки $x_0$ всегда "существует"; вне зависимости от того, как ведёт себя функция в этой окрестности.

"что такое предельная выручка? Это приращение общей выручки в данной точке." - неверно; предельная выручка - это производная общей выручки по Q, а приращение общей выручки - это $TR(Q_2)-TR(Q_1)$. Это не одно и то же.

Проблема решения только в понятийном аппарате или есть ещё и смысловые ошибки??
Конечно смысловые ошибки.
А где они, если честно, не могу понять?

UPD! А такое обоснование является достаточно верным?: Так как $MR(Q)=TR'(Q)$, тогда согласно критериям монотонности: $TR$ возрастает при $MR>0$ и убывает при $MR<0$

Критерием в математике называют необходимое и достаточное условие. $TR'(Q)>0$ - это достаточное условие того, что при небольшом росте Q выручка вырастет. Но не необходимое. Заметьте - именно при росте Q, а не при росте P.
Если память мне не изменяет, то необходимое условие: если $TR(Q)$ возрастает, то $TR'(Q)>0$ и наоборот для убывания.

А если обосновано связать этот незначительный рост $Q$ с незначительным уменьшением $P$ и, как следствие, уменьшением эластичности по модулю??

"если $TR(Q)$ возрастает, то $TR'(Q)>0$" - это неверно; Контрпример: $f(x)=x^3$, $x_0=0$.
Так я же вроде в равенство и не обращал, а в нуле Ваш пример становится равенством (точка перегиба).

Григорий, Вы не могли бы объяснить, где я ошибся идейно в решении в написании выкладок, а то я уже действительно ещё больше начинаю в тупик заходить???

Я лучше напишу то, что я хотел услышать:

$MR(Q)=P(Q)\cdot(1+\frac{1}{E_PQ_d})$
$MR(Q)>0 \Leftrightarrow E_PQ_d<-1$
$MR(Q)<0 \Leftrightarrow E_PQ_d>-1$
Значит, если в данной точке $E_PQ_d<-1$, то в этой точке $MR(Q)>0$, и значит, если чуть-чуть снизить Q (то есть чуть-чуть увеличить P), то выручка упадёт.
Аналогично, если в данной точке $E_PQ_d>-1$, то в этой точке $MR(Q)<0$, и значит, если чуть-чуть снизить Q (то есть чуть-чуть увеличить P), то выручка вырастет.
Если же в некоторой точке $E_PQ_d=-1$, то этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о том, что произойдёт с выручкой при небольшом увеличении P.

По ходу возник такой вопрос: $ E_PQ_d$ это $E_{d}^{P}$??

Как всегда не довел до конца, а оставалось немного:(

Да, я использую обозначение, как в http://iloveeconomics.ru/sets/s1060, раздел "Точечная эластичность функции нескольких переменных"
Григорий, спасибо большое за выложенное Ваше решение, буду учиться правильно излагать мысль:)
dTR = P 1 ∗ Q1 − P0 ∗ Q0.dT R > 0,P1 ∗ Q1 > P0 ∗ Q0;P1/P0 >Q0/Q1;
and Q1/Q0 > P0/P1.Pust : Q1/Q0 = P0/P1 + A.E(D, P) =
(Q1∗ P0−Q0∗P0)/(P1∗ Q0−P 0∗Q0)
1)−1 < E < 0.|Q1∗ P0−Q0∗P0| <
|P1 ∗ Q0 − P0 ∗ Q0|.
Pust budet povishenie tsen.
Togda : Q0 ∗ P0 − Q1 ∗
P 0 < P 1 ∗ Q0 − P 0 ∗ Q0; 2Q0 ∗ P 0 < P 1 ∗ Q0 + Q1 ∗ P0;Q0 ∗ P0 <
(P1 ∗ Q0 + Q1 ∗ P0)/2;2 < P1/P0 + Q1/Q0;
2 < P1/P0 + P0/P1 + A. −eto utvergdenie pravilno privseh A nerovno 0.

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки