Задача

В подборках

Эластичность

В олимпиадах

Эластичность

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

27.12.2011, 22:50 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:30


(0)
Модуль эластичности линейного спроса по цене в некоторой точке можно посчитать как отношение длин некоторых отрезков на кривой спроса. Каких именно отрезков?
Решите такую же задачу, заменив спрос на предложение.

Комментарии

Для спроса:
Пусть мы ищем эластичность в точке $L$, в этой точке $P=P_0, Q=Q_0$ (и сразу у меня такой вопрос, почти в тему: координаты этой точки будут $(P_0;Q_0)$ или $(Q_0;P_0)$??), тогда $E_{P}^{d} =\frac{OP_0}{P_0P_{max}}=\frac{Q_{max}Q_0}{Q_0O}=\frac{Q_{max}L}{LP_{max}}$

Теперь для предложения:
!!!_0.jpg
Для начала рассмотрим $S_1$ (это прямая, проходящая через точки $C_1, B_1, A$).

В $\bigtriangleup C_1AQ_0$ у нас $tg (\alpha_1)=\frac{AQ_0}{C_1Q_0}=\frac{P}{C_1Q_0}$, заметим, что $tg (\alpha_1)=P'(Q)=\frac{1}{Q'(P)}$, следовательно, $Q'(P)*P=\frac{1}{C_1Q_0} \Rightarrow E_{P}^{s} =\frac{C_1Q_0}{OQ_0}=\frac{С_1A}{B_1A}$, а теперь перепишем чуть другое: $E_{P}^{s}=\frac{P(Q_0)}{P(0)}$

Теперь рассмотрим $S_2$ (проходит через $C_2, B_2, A$)

В $\bigtriangleup C_2AP_0$ у нас $\angle{P_0C_2A}=\frac{\pi}{2}-\angle\alpha_2$, следовательно $tg(\alpha_2)=ctg(\angle{P_0C_2A})=\frac{C_2P_0}{AP_0}=\frac{C_2P_0}{Q}$, аналогично $tg (\alpha_2)=P'(Q)=\frac{1}{Q'(P)}$, следовательно, $\frac{Q'(P)}{Q}=\frac{1}{C_2P_0} \Rightarrow E_{P}^{s} =\frac{OP_0}{C_2P_0}=\frac{C_2A}{C_2B_2}$, аналогично переписываем по-другому: $E_{P}^{s}=\frac{Q(P_0)}{Q(0)}$

Итак, выводы:
Если $c>0 \Rightarrow E_{P}^{s}=\frac{P(Q_0)}{P(0)}$
Если $с<0 \Rightarrow E_{P}^{s}=\frac{Q(P_0)}{Q(0)}$

Готов к конструктивной критике:)

А можно использовать эти формулы на олимпиаде в готовом виде т.е не выводить их?
Ну, если это то, что предполагал автор статьи, то есть это конечный вид, то я думаю, что это можно будет использовать без каких-либо доказательств. По сути геометрический смысл эластичности спроса (не только для линейных функций) используется как общепринятый и не нуждающийся в каких-либо обоснованиях факт:)
Попробуйте вывести, не используя тригонометрию; получится в две строчки. (Лучше таки начать со спроса).
А в результате должно получиться это или что-то другое??
Ах, да, я и не заметил - должно получиться другое. У Вас ошибка в вычислениях.
Ошибка в вычислениях или смысловая? В обоих случаях?
Кажется, нашел:
1-ая (очепятка, но потом в решении она исправлена): $Q'(P)*P=C_1Q_0$

2-ая в геометрии треугольники рассмотрел те, а эластичность записал неправильно. Должно быть (как я думаю) $E_{P}^{s}=\frac{P(Q_0)}{P(Q_0)-P(0)}$

3-я в геометрии во втором случае, Правильно!: $E_{P}^{s}=\frac{OP_0}{C_2P_0}=\frac{B_2A}{C_2A}$

4-ая опять же в конечном результате ошибся. Должно быть (опять же, как я думаю) $E_{P}^{s}=\frac{Q(P_0)-Q(0)}{Q(P_0)}$

Завтра попытаюсь вникнуть получше

Теперь ответы вроде правильные.
Попробуйте найти решение в две строчки - с использованием алгебры вместо тригонометрии.
Q=a+bP, так как спрос линеен
Q'=b => E=P/Q*Q'=bP/Q=(a+bP)/Q-a/Q=1-Q(0)/Q(P), что нам и нужно, так как Q(0)=a
Но в задаче спрашивается про соотношение длин отрезков на кривой спроса, а не на осях. Поэтому нужно ещё применить теорему Фалеса или подобие треугольников.
Пожалуйста, напишите в полном варианте без ошибок, а то так трудно для понимания
А сами не хотите попробовать?
рискну предположить, что эластичность кривой спроса в точке будет равна отношению длины АВ к ВС, где А это точка пересечения кривой спроса и оси обьема, В - точка, эластичность в которой мы ищем, С- точка пересечения кривой спроса и оси цен. так?
а нет. прошу прощения. эластичость в некоторой точке будет равна тангенсу угла наклона этой кривой умноженной на отношение AB к BC как я сказал ранее
Если речь идет о линейной кривой спроса, то первоначальный вариант вроде бы был правильный (на тангенс домножать не надо).
да, и вправду.

Все задачи этой олимпиады

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки

Другие задачи из этой же подборки

ЗадачаБаллы
Все функции с постоянной эластичностью
Выручка и зоопарк эластичностей
Геометрический смысл эластичности
График спроса и возрастание выручки
График эластичности линейного предложения
График эластичности линейного спроса
Как определить эластичность по графику
Когда AC возрастает
Когда линейный спрос эластичен?
Постоянная дуговая эластичность. Advanced
Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене
Эластичности произведения и частного
Эластичности рыночного и индивидуальных спросов
Эластичности суммы и разности
Эластичность и возрастание среднего значения
Эластичность и возрастание функции
Эластичность перехода и дуговая эластичность
Эластичность перехода линейной функции
Эластичность спроса и возрастание выручки