Задача
В подборках
Эластичность
В олимпиадах
Эластичность
Темы
Сложность
(1 оценка)
Автор
27.12.2011, 22:57 (Григорий Хацевич)
29.12.2011, 13:29
29.12.2011, 13:29
(0)
Как связаны эластичность спроса по цене в некоторой точке и возрастание/убывание выручки (при увеличении цены) в окрестности этой точки?
Комментарии
Если $E_{P}^{d}\geq1$, то, при незначительном увеличении цены, выручка уменьшится.
Накидаю, что получил: на сайте неоднократно доказывалось, да и принимается это уже за общеизвестный факт, что $MR=P(1+\frac{1}{E_{P}^{d}})$
По знаку $MR$ мы можем определить возрастание/убывание выручки, $P>0$ всегда (по экономическому смыслу), следовательно, если $1+\frac{1}{E_{P}^{d}}>0 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}<-1 \Longrightarrow $ в окрестностях этой точки $MR>0$;
$1+\frac{1}{E_{P}^{d}}<0 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}>-1 \Longrightarrow $ в окрестностях точки $MR<0$.
Не судите строго!
Update: все-таки решил исправить на "-" в выражении $MR=Q \cdot dP-P \cdot dQ$
С этим разобрались, но что тогда с $dP$ и $dQ$?
Оффтоп: "Дельта" склоняется или нет??
изменение функции - это $f(x_1)-f(x_0)$, а дифференциал - это линейная часть приращения, то есть $f'(x_0)(x_1-x_0)$
Буду очень благодарен:)
Можете чётко прописать ответ на вопрос задачи и логическую схему его доказательства? Я не нашёл этого в комментах выше.
Так как функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке, и если мы рассматриваем какую-то точку на графике этой функции, то будет существовать окрестность этой точки.
Теперь разберемся с предельной выручкой: что такое предельная выручка? Это приращение общей выручки в данной точке. Если это приращение положительно, то общая выручка растет, отрицательно - уменьшается (это по определению производной), то есть если $MR(Q_0)>0$, то мы можем чуть-чуть увеличить цену и в результате увеличим выручку.
Определим зависимость $MR(E_{d}^{P})$: $$MR=TR'(Q)=(P(Q)\cdot Q)'=P'(Q)\cdot Q+Q'\cdot P(Q)=\frac{dP}{dQ}\cdot Q+P(Q)=P\cdot \frac{dP}{dQ}\cdot \frac{Q}{P}+P=P(1+\frac{1}{E_{d}^{P}})$$
Итак $MR(E_{d}^{P})=P(1+\frac{1}{E_{d}^{P}})$, где $P$ - параметр (причем $P>0$). Теперь посмотрим, когда $MR>0$ и когда $MR<0$:
$MR>0 \Leftrightarrow 1+\frac{1}{E_{P}^{d}}>0 \Longleftrightarrow \frac{1}{E_{P}^{d}}>-1 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}<-1 \Longrightarrow$ в окрестностях каждой точки,в которой выполняется условие $E_{P}^{d}<-1$ общая выручка будет увеличиваться при увеличении цены;
Теперь второй случай: $MR<0 \Leftrightarrow 1+\frac{1}{E_{P}^{d}}<0 \Longleftrightarrow \frac{1}{E_{P}^{d}}>-1 \Longleftrightarrow E_{P}^{d}>-1 \Longrightarrow$ в окрестностях каждой точки, где выполняется условие $E_{P}^{d}>-1$ общая выручка будет увеличиваться при увеличении цены.
Также можно рассмотреть вырожденный случай, когда $E_{P}^{d}=с {\text{ }} (с=const)$
Как-то так:)
"что такое предельная выручка? Это приращение общей выручки в данной точке." - неверно; предельная выручка - это производная общей выручки по Q, а приращение общей выручки - это $TR(Q_2)-TR(Q_1)$. Это не одно и то же.
UPD! А такое обоснование является достаточно верным?: Так как $MR(Q)=TR'(Q)$, тогда согласно критериям монотонности: $TR$ возрастает при $MR>0$ и убывает при $MR<0$
А если обосновано связать этот незначительный рост $Q$ с незначительным уменьшением $P$ и, как следствие, уменьшением эластичности по модулю??
Григорий, Вы не могли бы объяснить, где я ошибся идейно в решении в написании выкладок, а то я уже действительно ещё больше начинаю в тупик заходить???
$MR(Q)=P(Q)\cdot(1+\frac{1}{E_PQ_d})$
$MR(Q)>0 \Leftrightarrow E_PQ_d<-1$
$MR(Q)<0 \Leftrightarrow E_PQ_d>-1$
Значит, если в данной точке $E_PQ_d<-1$, то в этой точке $MR(Q)>0$, и значит, если чуть-чуть снизить Q (то есть чуть-чуть увеличить P), то выручка упадёт.
Аналогично, если в данной точке $E_PQ_d>-1$, то в этой точке $MR(Q)<0$, и значит, если чуть-чуть снизить Q (то есть чуть-чуть увеличить P), то выручка вырастет.
Если же в некоторой точке $E_PQ_d=-1$, то этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о том, что произойдёт с выручкой при небольшом увеличении P.
Как всегда не довел до конца, а оставалось немного:(
and Q1/Q0 > P0/P1.Pust : Q1/Q0 = P0/P1 + A.E(D, P) =
(Q1∗ P0−Q0∗P0)/(P1∗ Q0−P 0∗Q0)
1)−1 < E < 0.|Q1∗ P0−Q0∗P0| <
|P1 ∗ Q0 − P0 ∗ Q0|.
Pust budet povishenie tsen.
Togda : Q0 ∗ P0 − Q1 ∗
P 0 < P 1 ∗ Q0 − P 0 ∗ Q0; 2Q0 ∗ P 0 < P 1 ∗ Q0 + Q1 ∗ P0;Q0 ∗ P0 <
(P1 ∗ Q0 + Q1 ∗ P0)/2;2 < P1/P0 + Q1/Q0;
2 < P1/P0 + P0/P1 + A. −eto utvergdenie pravilno privseh A nerovno 0.