Олимпийка или олимпос?

а) Запишем функцию прибыли фирмы «Вершина» и промаксимизируем ее:
$\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
$\begin{cases}
\Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
\\
\Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
\end{cases}$
$Q_d = 20, ~ Q_w = 60$
б) Аналогично пункту а) решим пункт б).

1. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - t - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_w = 80 - Q_d, ~~ Q_d = \dfrac{40 - t}{2}$
   Запишем и промаксимизируем налоговые сборы:
   $T = 20t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 20 \Rightarrow T_{max} = 400 - 200 = 200$
2. $\Pi = Q_d(200 - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_d = 50 - 0,5Q_w, ~~ Q_w = 60 - t$
   Максимизируем налоговые сборы:
   $T = 60t - t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 30 \Rightarrow T_{max} = 1800 - 900 = 900$
3. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
   $\begin{cases}
   \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
   \\
   \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0
   \end{cases}$
   $Q_d = 20, ~~ Q_w = \dfrac{120 - t}{2}$
   Максимизируем налоговые сборы:
   $T = 20t + 60t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$
   Это парабола ветвяими вниз, поэтому максимум функции – в вершине:
   $t = 80 \Rightarrow T_{max} = 1600 + 4800 - 3200 = 3200$

в) В пунктах $1$ и $2$ суммарные налоговые сборы составили $1100$, в пункте $3$ же – $3200$. При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.