Eco-friendly

Задача

Пробная олимпиада школьников — 2022

9 класс (2 тур)

10 класс (2 тур)

11 класс (2 тур)

монополия

вмешательство государства

налоги и субсидии

Средняя: 3.6 (5 оценок)

13.02.2022, 20:09 (Дарья Родионова)
13.02.2022, 20:09

(0)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

В городе Врн компанией «Pirelli» организовано производство автомобильных покрышек. Спрос на покрышки имеет вид $Q_d=100-P+20\beta$, где $P$ – цена покрышек, а коэффициент $\beta$ определяет степень экологичности производства. $\beta = 1$, если производство экологичное, и $\beta = 0$ в ином случае (то есть может принимать только эти два значения). Функция издержек фирмы также зависит от $\beta$ и имеет вид: $TC=(1+\beta)Q^2+100+50\beta$.

(10 баллов) «Pirelli» является монополистом на рынке покрышек в городе Врн. Определите, какое $\beta$ выберет фирма, какой объем продукции произведет и какую прибыль получит.
(2 балла) Какой размер аккордной субсидии должно выплатить фирме государство, чтобы производство стало экологичным? Считайте, что если фирме безразлично, делать заводы экологичными или нет, она будет делать первое. Государство выплачивает субсидию только тем фирмам, которые заботятся об экологии!
(18 баллов) Теперь правительство региона взяло «Pirelli» под свой контроль и само выбирает коэффициент $\beta$. Оно руководствуется интересами общества и максимизирует совокупную функцию полезности $U=\sqrt{\beta}+\pi$, где $\pi$ – прибыль фирмы. Взаимодействие между государством и компанией устроено так: сначала государство выбирает значение $\beta$, а затем фирма выбирает объем производства. Какое значение $\beta$ установит государство?

Решение и ответ

Запишем обратную функцию спроса: $P^d = 100 + 20\beta - Q$. Теперь можем записать функцию прибыли монополиста:
$$\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \underset{Q \geqslant 0}{max}$$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $Q$, поэтому максимум – в вершине.
$$Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}$$
Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль:
$$\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
Сравним прибыли при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
$$\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150$$
$$\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4\cdot 3} -100 - 50 = 1200 - 150 = 1050$$
Очевидно, $\Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0,~ \Pi^* = 1150,~ Q^* = \frac{100}{4} = 25$.
Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: $\Pi(\beta = 0) \leqslant \Pi(\beta = 1) + S$, где $S$ – размер субсидии. Подставив числа из предыдущего пункта, получим:
$$1150 \leqslant 1050 + S \Rightarrow S \geqslant
100$$
Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от $\beta$ не изменится, поэтому прибыль в зависимости от $\beta$ имеет вид: $\Pi = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$. Тогда совокупная функция полезности имеет вид:
$$U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$
Сравним полезности при $\beta = 0$ и $\beta = 1$:
$$U(\beta = 0) = \frac{100\cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1150$$
$$U(\beta = 1) = 1 + \frac{120\cdot 120}{4\cdot 3} - 100 - 50 = 1051$$
Видно, что $U(\beta = 0) > U(\beta = 1)$, поэтому государство выберет $\beta^* = 0$

Все задачи этой олимпиады

10 класс (1 тур)

Задача	Баллы
Вполне прозрачная экономика	30
Классика	30
Олимпиада – это тоже праздник!	30
Олимпийка или олимпос?	30

10 класс (2 тур)

Задача	Баллы
Eco-friendly	30
Организаторы организуют	30
Сезонный продукт	30
Я больше не буду играть в эту игру	30

11 класс (1 тур)

Задача	Баллы
Вполне прозрачная экономика	30
Классика	30
Олимпийка или олимпос?	30
Просто страна А	30

11 класс (2 тур)

Задача	Баллы
Eco-friendly	30
Организаторы организуют	30
Предельно склоните потребление	30
Я больше не буду играть в эту игру	30

7-8 классы (1 тур)

Задача	Баллы
Автобус или метро?	30
Добро пожаловать в рай!	30
Он улетел, но обещал вернуться	30
Пробки	30

7-8 классы (2 тур)

Задача	Баллы
Давным-давно в далёкой-далёкой галактике	30
Рыбный остров	30
Самый лучший стартап	30
Сезонный продукт	30

9 класс (1 тур)

Задача	Баллы
Автобус или метро?	30
Вполне прозрачная экономика	30
Добро пожаловать в рай!	30
Классика	30

9 класс (2 тур)

Задача	Баллы
Eco-friendly	30
Организаторы организуют	30
Рыбный остров	30
Сезонный продукт	30

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Все задачи этой олимпиады