Организаторы организуют

Задача

Пробная олимпиада школьников — 2022

9 класс (2 тур)

Можно решить без знания производной

Средняя: 7 (1 оценка)

13.02.2022, 20:02 (Дарья Родионова)
13.02.2022, 20:02

(0)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Кирилл и Гоша занимаются экспериментами и выдают мерч в каморке. За $2$ часа Кирилл может сделать $20$ экспериментов или выдать $40$ единиц мерча (а также любую их линейную комбинацию). Гоша, соотвественно, $80$ экспериментов или $20$ единиц мерча. Оба этих занятия эффективно распределены между ребятами. Мерч и эксперименты делаются специально для Мишы, функция полезности которого задаётся уравнением: $U = min\{x, y\}$, где $x$ – количество единиц
мерча, а $y$ – количество экспериментов.

(12 баллов) Найдите, сколько единиц мерча и экспериментов будет потреблять Миша и проиллюстрируйте ваше решение на графике (начертите карту кривых безразличия и покажите выбор оптимальной точки).
(8 баллов) Пусть про удивительные товары (эксперименты и мерч) узнал Антон и стал потреблять эти товары вместо Мишы. Его функция полезности задаётся уравнением: $U=-x^2+8,5x+y$. Сколько мерча и экспериментов потребит Антон?
(10 баллов) Выведите функцию спроса Антона на мерч (в зависимости от цены на мерч), если цена эксперимента равна $1$ тыс. руб.

Решение и ответ

Начнём с того, что в условии указана производительность Кирилла и Гоши за $2$ часа работы. Этот факт необязательно использовать при решении, однако, если участники делили объёмы производства на $2$ и решали всю задачу с этими числами, баллы не снижались. Здесь же приведём решение для объёмов производства за $2$ часа.

Альтернативная стоимость производства экспериментов для Кирилла: $AC^K_e = 2$, альтернативная стоимость производства экспериментов для Гоши: $AC^G_e = 0,25$. Суммарно Кирилл и Гоша могут произвести $100$ экспериментов или $60$ единиц мерча. Построим кривую производственных возможностей Гоши и Кирилла, руководствуясь тем, что альтернативная стоимость производства растёт с ростом объёмов производства.

Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:

Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.
Здесь стоит рассмотреть два случая.
1. Первый случай: оптимум находится на первом (слева-направо) участке КПВ.
  Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
  $$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
  Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
  $$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
  $$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$
2. Второй случай: оптимум находится на втором (слева-направо) участке КПВ.
  Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
  $$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
  Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
  $$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
  Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
  $$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$
Запишем бюджетное ограничение Антона в общем виде:
$P_x \cdot x + P_y \cdot y \leqslant I$, где $P_x,~ P_y$ – цены мерча и экспериментов соответственное, а $I$ – доход Антона. С учётом данных из условия можем переписать бюджетное ограничение Антона в следующем виде: $P_x \cdot x + y \leqslant I$ или $y \leqslant I - P_x \cdot x$. Заметим, что если $y < I - P_x \cdot x$, мы может немного увеличить $y$ и уменьшить $x$, при этом увеличив полезность, поэтому неравенство можно заменить на равенство. Тогда подставим бюджетное ограничение в полезность Антона и промаксимизируем:
$$U = -x^2 + 8,5x + I - P_x \cdot x = -x^2 + (8,5 - P_x)x + I \rightarrow \underset{0 \leqslant x \leqslant \frac{I}{P_x}}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x^* = \frac{8,5 - P_x}{2}$$
Заметим, что если $P_x > 8,5$, то товар $x$ становится слишком дорогим, и Антон перестаёт его покупать, т.е. $x^* = 0,~ P_x > 8,5$. С другой стороны, если расходы на товар $x$ в оптимуме превышают доход Антона, то он будет потреблять ровно $x^* = \frac{I}{P_x},~ \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}$.

Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
$$x^d =
\begin{cases}
0,& P_x > 8,5
\\
\frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
\\
\frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
\end{cases}
$$

Все задачи этой олимпиады

10 класс (1 тур)

Задача	Баллы
Вполне прозрачная экономика	30
Классика	30
Олимпиада – это тоже праздник!	30
Олимпийка или олимпос?	30

10 класс (2 тур)

Задача	Баллы
Eco-friendly	30
Организаторы организуют	30
Сезонный продукт	30
Я больше не буду играть в эту игру	30

11 класс (1 тур)

Задача	Баллы
Вполне прозрачная экономика	30
Классика	30
Олимпийка или олимпос?	30
Просто страна А	30

11 класс (2 тур)

Задача	Баллы
Eco-friendly	30
Организаторы организуют	30
Предельно склоните потребление	30
Я больше не буду играть в эту игру	30

7-8 классы (1 тур)

Задача	Баллы
Автобус или метро?	30
Добро пожаловать в рай!	30
Он улетел, но обещал вернуться	30
Пробки	30

7-8 классы (2 тур)

Задача	Баллы
Давным-давно в далёкой-далёкой галактике	30
Рыбный остров	30
Самый лучший стартап	30
Сезонный продукт	30

9 класс (1 тур)

Задача	Баллы
Автобус или метро?	30
Вполне прозрачная экономика	30
Добро пожаловать в рай!	30
Классика	30

9 класс (2 тур)

Задача	Баллы
Eco-friendly	30
Организаторы организуют	30
Рыбный остров	30
Сезонный продукт	30

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Все задачи этой олимпиады