Ноттингем-1

С точки зрения бедного агента, трансферт является константой (не зависит от его усилий) и поэтому оптимальный для бедного уровень усилий просто равен $V$.
Значит, суммарный уровень дохода в обществе будет равен
$$Y=N(Vx_p+tWx_r)+N(1-t)Wx_r=Vx_p +Wx_r=N(V^2+(1-t)W^2).$$
Очевидно, что функция $Y(t)=N(V^2+(1-t)W^2)$ является (строго) убывающей. Причина такого «парадоксального» эффекта заключается в том, что налог в данном случае является искажающим и плохо влияет на стимулы агентов: богатые агенты сокращают уровень усилий с ростом ставки налога. При этом неизбежно уменьшается размер «пирога», который затем делится между бедными и богатыми¹.
б) Если Робин сможет добиться ситуации, при которой после перераспределения у всех агентов доход будет одинаков, коэффициент Джини будет равен нулю, а значит, будет минимален. Найдем ставку налога, при которой доход богатого агента равен доходу бедного агента.
Доход богатого равен:
$$(1-t)Wx_r=(1-t)^{2}W^2$$
Доход бедного равен: $$Vx_p +tWx_r=V^2+t(1-t)W^2$$
Приравнивая эти две величины, получаем, что искомая ставка налога удовлетворяет уравнению:
$$2t^2-3t+1=\frac{V^2}{W^2}=\frac{2}{9}$$
Решая это квадратное уравнение, получаем, что:

$$t=\frac{3\pm \sqrt{9-4\cdot 2\cdot \frac{7}{9}}}{4}=\frac{3\pm\frac{5}{3}}{4}=\frac{1}{3};\frac{7}{6}$$

Нам подходит только корень $t=\frac{1}{3}$, так как ставка налога должна быть не больше единицы. Суммарный уровень дохода будет равен:
$$N\left ( 2+\left ( 1-\frac{1}{3} \right )9 \right )=8N.$$ До перераспределения доход равнялся $11N$ . Значит, доход сократился на $3N$ ден. ед.