Ноттингем-2

а) До вмешательства при цене 2 на рынке имеет место дефицит, и потому в равновесии цена больше 2. Значит, в равновесии каждая из фирм производит положительный объем, и потому равновесная цена удовлетворяет уравнению $50(P-2)+50(P-1)=1850-100P$. Значит, цена равна 10, а равновесное количество — 850.
После вмешательства функция рыночного предложения на том участке, где каждая фирма производит положительный выпуск, останется без изменений:
$$Q_s^{new}=50(P-1-2)+50(p-1)+50(P-2)=Q_s^{old}$$ Поэтому старая цена 10 по-прежнему является равновесной. Следовательно, не изменилось и равновесное количество, что и требовалось доказать.
Из-за того, что рыночное предложение не изменилось на целом участке, возникает соблазн сказать, что равновесное количество не изменилось бы при любой функции спроса. Однако это не так: если спрос достаточно мал (так что одна из фирм не производит до и/или после вмешательства), то проводимая политика повлияет на равновесное количество. Например, если спрос описывается уравнением $Q_d=150-50P$ , до вмешательства цена равна 2, производит только вторая группа, количество равно 50. После вмешательства цена будет равна 3/2, производить будет только первая группа, количество будет равно 75.
б) Для расчета прибыли восстановим функции издержек. Для каждой из фирм в первой группе $MC_1(q)=P=2+q$ , и значит, $TC_1(q)=2q+q^2/2$ . Аналогично, для каждой из фирм во второй группе $MC_2(q)=1+q$ и $TC_2(q)=q+q^2/2$. (Не нарушая общности, примем постоянные издержки равными 0, так как их величина не влияет на сравнение благосостояния).
До вмешательства фирма из первой группы производила 8 единиц, и прибыль ее равнялась $8\cdot 10-16-32=32$ . Фирма из второй группы производила 9 единиц, и прибыль ее равнялась $9\cdot 10-9-9^2/2=40{,}5$ . Суммарная прибыль фирм равна $72{,}5 \cdot 50=3625$. $T$ и $S$ равны 0, и благосостояние равно $H+3625$.
После вмешательства фирма из первой группы произведет 10 единиц и ее прибыль (после выплаты субсидии) будет равна $10 \cdot 10 -20-50+2 \cdot 10 =50$. Фирма из второй группы произведет 7 единиц, и ее прибыль будет равна $10 \cdot 7-7-7^2/2-2 \cdot 7=24{,}5$. Общая прибыль фирм равна $74{,}5 \cdot 50=3725$. Однако теперь $T=2 \cdot 50 \cdot 7=700$ и $S=2\cdot 50 \cdot 10=1000$. Поэтому благосостояние равно $H+3725+700-1000=H+3425$ .
Таким образом, после вмешательства государства благосостояние упало!
в) Пусть $\pi_0$ — суммарная прибыль фирм до осуществления расчетов с бюджетом. Заметим, что благосостояние зависит именно от $\pi_0$. Действительно,
$$W=H+\pi+T-S=H+(\pi_0-T+S)+t-S=H+\pi_0$$
Пусть $TR$ — суммарная выручка фирм. Тогда
$$W=H+TR-50(TC_1(q_1)+TC_2(q_2))$$
Однако ни $H$, ни $TR$ не изменились после вмешательства (так как не изменился совокупный выпуск). Значит, благосостояние уменьшилось из-за того, что увеличилась величина $TC_1(q_1)+TC_2(q_2)$.
И до, и после вмешательства $q_1+q_2=17$ , однако распределены эти 17 единиц по-разному. До: $17=8+9$. После: $17=10+7$. Таким образом, в данном случае вмешательство привело к потерям благосостояния потому, что оно привело к искаженному, «неправильному» распределению выпуска между фирмами.
Действительно, представим себе, что нам нужно распределить выпуск в размере 17 между двумя заводами с функциями издержек $TC_1(q)=2q+q^2/2$ и $TC_2(q)=q+q^2/2$. Несложно проверить, что для минимизации суммарных издержек нужно как раз произвести 8 единиц на первом заводе, и 9 — на втором (случайно ли это вышло?). Вмешательство искажает это оптимальное распределение, увеличивая производство на менее эффективных фирмах. и уменьшая производство на более эффективных. Это ведет к росту суммарных издержек и потерям в благосостоянии, даже несмотря на то, что общий выпуск остается без изменений.