Двухпериодный "Сюрприз"

б) Фирма не может изменить объемы продаж, но она может умно выбрать объемы производства в двух периодах. Действительно, раз продукцию можно запасать, то 7 единиц, которые необходимо поставить во втором периоде, можно частично произвести не во втором периоде, а в первом, тем самым сэкономив на уплате налога. Таким образом, задача сводится к стандартной задаче о двух заводах. Нужно раскидать 7 единиц продукции между заводом первого периода (с функцией издержек $TC_1=(q_1+7)^2/2)$ ) и заводом второго периода (с функцией издержек $TC_(q_2)=q_2^2/2+5q_2$) так, чтобы суммарные издержки были минимальны. Иными словами, фирме нужно решить задачу
$$TC=\frac{((7-q_2)+7)^2}{2}+\frac{q_2^2}{2}+5q_2\rightarrow min$$
График данной функции — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке 4,5. Получаем, что 4,5 единиц из 7 нужно произвести все-таки во втором периоде, а 2,5 единицы произвести в первом периоде и запасти. Прибыль фирмы равна 118,25.

в) В данном случае фирма может управлять также и объемом продаж во втором периоде. Поэтому ограничение $q_1+q_2=7$ отпадает. Задача фирмы будет иметь вид:
$$\pi(q_1,q_2)=(21-7)\cdot 7-\frac{(q_1+7)^2}{2}+(21-q_1-q_2)(q_1+q_2)-\frac{q_2^2}{2}-5\cdot q_2 \rightarrow max,$$
где $q_1$ — объем запасов, $q_2$ — объем производства во втором периоде.
Решать эту задачу можно разными методами.
Например, можно приравнять частные производные к нулю и решить получившуюся систему уравнений. Получившиеся уравнения легко интерпретировать экономически: мы получим равенство предельного дохода предельным издержкам на каждом заводе. Однако этот метод не является вполне школьным, так как неясно, как проверить, действительно ли является полученное решение максимумом функции.
Мы продемонстрируем другой метод решения, не требующий знания частных производных (и производных вообще).
Заметим, что при каждом $q_2$ наша функция является параболой с ветвями вниз относительно $q_1$. Вершина этой параболы равна $q_1^*=\frac{14}{3}-\frac{2}{3}q_2$. Иными словами, если $q_2$ уже выбрано, то всегда оптимально выбирать именно такое значение $q_1$. Подставляя это выражение в функцию прибыли, получаем, что максимально возможное значение прибыли при фиксированном $q_2$ равно:
$$\pi(14/3-2q_2/3, q_2)=const+\frac{20}{3}q_2-\frac{5}{6}q_2^2$$
Но это тоже парабола с ветвями вниз! Отсюда легко находим, что оптимальное значение $q_2$ равно 4, а оптимальное значение $q_1$ равно $\frac{14}{3}-\frac{2}{3}\cdot4=2$.
Итак, во втором периоде нужно продать не 7, а 6 единиц продукции, из которых 2 нужно произвести в первом периоде и запасти, а 4 нужно произвести во втором периоде и уплатить за них налог. Максимальная прибыль будет равна 119,5.
Есть и другие способы нахождения оптимума. Например, можно, обобщая решение пункта (а), вывести «общую» для фирмы функцию издержек $TC(Q)$, показывающую минимальные издержки на производство $Q$ единиц продукции для продажи во втором периоде, а на втором этапе решить задачу $\pi(Q)=const+(21-Q)Q-TC(Q)\rightarrow max$.
Идея этого способа тоже заключается в том, чтобы свести оптимизацию по многим переменным к последовательной оптимизации по одной переменной, однако выбор переменных для последовательной оптимизации другой.